Questão 87
Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme mostra a figura.O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando que o volume de um cone é calculado pela fórmula $$(1/3)\cdot\pi r^{2}h$$, volume do cone da figura, em cm³, é igual a
Solução:
Questão 88
Uma função quadrática f é dada por $$f(x) = x^{2}+ bx + c$$, com $$b$$ e $$c$$ reais. Se $$f(1) = –1$$ e $$f(2) – f(3) = 1$$, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a a) –12. b) –6. c) –10. d) –5. e) –9.Solução:
Das informações do enunciado, calculamos $$b$$ e $$c$$. $$-1=f(1)=1+b+c\longrightarrow b+c=-2$$. $$1=f(2)-f(3)=(4+2b+c)-(9+3b+c)=-5-b\longrightarrow b =-6$$. Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se $$c=4$$. A equação completa é $$f(x)=x^{2}-6b+4$$. Por fim, calculamos o ponto de mínimo da função, isto é, o $$y$$ do vértice. \[\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{36-4\cdot 1\cdot 4}{4}=-\frac{20}{4}=-5\]. Resposta: d)
Questão 89
Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência $$4^{n}$$, com n sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a a) 12. b) 9. c) 8,5. d) 8. e) 6,5.Solução:
Observe que o site S tem um total de visitas equivalente a $$2\cdot 4^{6}$$. Para calcularmos seu índice, basta resolvermos a equação exponencial $$4^{n}=2\cdot 4^{6}$$. \[2\cdot 4^{6}=2\cdot (2^{2})^{6}=2^{13}=(2^{2})^{6,5}=4^{6,5}\]. Deste modo, notamos que $$n=6,5$$. Resposta: e)
Questão 90
Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis.
Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a a) 58. b) 20. c) 42. d) 36. e) 72.
Solução:
Não há fórmula para o problema; devemos analisar cada um dos casos, separadamente. (2 amarelos , 1 verde) = $$3!/2! = 3$$. (2 amarelos , 1 azul) = $$3!/2! = 3$$. (2 vermelhos , 1 verde) = $$3!/2! = 3$$. (2 vermelhos , 1 azul) = $$3!/2! = 3$$. Agora, calculamos o número de possibilidades para pilhas com blocos de 3 cores. Apesar de haver dois vermelhos e dois amarelos, apenas uma vez é contada a pilha, devido à indistinção entre dois blocos da mesma cor. Isto é o mesmo que o arranjo entre as 4 cores distintas, tomadas 3 a 3. $$A_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4!=24$$. Nesta última parte, calculamos o número de blocos com apenas as cores amarelo e vermelho. (2 vermelhos, 1 amarelo) = $$3!/2!=3$$. (2 amarelos, 1 vermelho) = $$3!/2!=3$$. Finalmente, somamos todas as possibilidades, uma vez que são conjuntos disjuntos, e obtemos $$4\cdot 3 + 24 + 2\cdot 3 = 42$$. Resposta: c)
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