Questão
Se ($$a_{1}$$ , $$a_{2}$$ , … , $$a_{13}$$) é uma progressão aritmética (PA) cuja soma dos termos é 78, então $$a_{7}$$ é igual a
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
Solução:
Resposta: a)
Questão
Considere a matriz $$\left[\begin{array}{cc} a&0\\b&1 \end{array}\right]$$ , onde a e b são números reais. Se $$A^{2}=A$$ é invertível, então
a) ? = 1 e ? = 1.
b) ? = 1 e ? = 0.
c) ? = 0 e ? = 0.
d) ? = 0 e ? = 1.
Solução:
Resposta:b)
Questões
Considere o sistema linear nas variáveis x,y e z.
$$\left\{ \begin{array}{c} x+2y+3z=20\\7x+8y-mz=26 \end{array} \right.$$
onde m é um número real. Sejam a < b < c números inteiros consecutivos tais que (x, y, z) = (a, b, c) é uma solução desse sistema. O valor de m é igual a
a) 3.
b) 2.
c) 1.
d) 0.
Solução:
Resposta: a)
Os números são consecutivos, portanto $$b=a+1$$ e $$c=a+2$$. Substituindo os três números inteiros na primeira equação, tem-se $$a+2(a+1)+3(a+2)=26\Longrightarrow 6a+8=20\Longrightarrow a=2$$.
Conclui-se, portanto, que $$(a,b,c)=(2,3,4)$$. Agora, substituindo estes valores na segunda equação, tem-se $$7\cdot 2 + 8\cdot 3 -4m=26\Longrightarrow -4m=-12\Longrightarrow m=3$$.
Questão
A figura abaixo exibe o gráfico de uma função y = f(x).
Então, o gráfico de y = 2 f(x − 1) é dado por
Solução:
Resposta: b)
Observe que $$y=g(x)=2f(x-1)$$. Além disso, $$f(1)=2$$ e $$f(-1)=-2$$. Então $$g(2)=2f(2-1)=2f(1)=4$$ e $$g(0)=2f(0-1)=2f(-1)=-4$$.
Questão
Seja a um número real. Considere as parábolas de equações cartesianas $$y=x^{2}+2x+2$$ e $$y=2x^{2}+ax+3$$. Essas parábolas não se interceptam se e somente se
a) |a| = 2.
b) |a| < 2.
c) |a − 2| < 2.
d) |a − 2| ≥ 2.
Solução:
Resposta: c)
1) Igualando uma equação à outra, estamos interpretando, algebricamente, que, naquele ponto (x,y), há uma intersecção geométrica.
\[x^{2}+2x+2=2x^{2}+ax+3\Longrightarrow 0=x^{2}+(a-2)x+1\].
2) Para que não existam pares ordenados como os anteriores, a equação anterior não poderá ter raízes reais, ou seja, $$\Delta<0$$.
$$\Delta=B^{2}-4AC= (a-2)^{2}-4<0\Longrightarrow a^{2}-4a<0\Longrightarrow a(a-4)<0$$.
Este produto dos termos $$a$$ e $$(a-4)$$ só pode ser negativo se o primeiro for negativo com o segundo positivo, ou se o primeiro for positivo, com o segundo negativo.
Caso 1] $$a<0$$ e $$a-4>0\Longrightarrow a>4$$. Esta opção é inválida, pois não se pode ter a<0 e a>4.
Caso 2] $$a>0$$ e $$a-4<0\Longrightarrow 0<a<4$$. Esta é a única opção possível para que o $$\Delta <0$$.
3) Se $$0<a<4$$, então $$0-2<a-2<4-2\Longrightarrow -2<a-2<2\Longrightarrow |a-2|<2$$.
Questão
No plano cartesiano, a equação |x − y| = |x + y| representa
a) um ponto.
b) uma reta.
c) um par de retas paralelas.
d) um par de retas concorrentes.
Solução:
Resposta: d)
O “truque sujo” é elevar os dois lados da equação ao quadrado, uma vez que esta operação “some” com os módulos dos dois lados.
\[|x-y|^{2}=|x+y|^{2}\Longrightarrow x^{2}-2xy+y^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\Longrightarrow -2xy=2xy\Longrightarrow 4xy=0\].
Para que $$4xy=0$$, deve-se ter $$x=0$$ ou $$y=0$$. No plano cartesiano, os possíveis pares ordenados são (0,$$y$$) e ($$x$$,0). Estas duas retas são, exatamente, os eixos coordenados (reta x e reta y). Portanto as retas são concorrentes, uma vez que elas se interceptam no ponto (0,0).
