Questão
Seja (a,b,c) uma progressão geométrica de números reais com a ≠ 0 . Definindo $$s=a+b+c$$ , o menor valor possível para $$\frac{s}{a}$$ é igual a
a) 1/2.
b) 2/3.
c) 3/4.
d) 4/5.
Solução:
Por ser progressão geométrica, teremos a seguinte sucessão: $$a$$ , $$aq$$ , $$aq^{2}$$, com $$q$$ a razão desta progressão geométrica. Donde $$s=a+aq+aq^{2}$$, fazendo com que $$\frac{s}{a}=\frac{a+aq+aq^{2}}{a}=1+q+q^{2}$$.
Esta expressão é uma equação do segundo grau e para encontrar o valor mínimo desta função, precisamos achar o vértice desta equação, em particular, o $$y_{v}=\frac{-\Delta}{4a}$$.
\[y_{v}=-\frac{1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}{4\cdot 1}=\frac{3}{4}\].
Resposta: c)
Questão
Considere o sistema linear nas variáveis reais $$x$$,$$y$$,$$z$$ e $$w$$.
$$\left\{\begin{matrix} x-y=1\\ y+z=2\\ w-z=3 \end{matrix}\right.$$
Logo, a soma $$x+y+z+w$$ é igual a
a) -2.
b) 0.
c) 6.
d) 8.
Solução:
Multiplique a segunda equação por $$2$$ e obtemos $$2y+2z=4$$. Agora, some este resultado às duas equações restantes.
\[\begin{align*}
x-y &=1 \\
\textbf{+}\: 2y+2z &=4 \\
\textbf{+}\: w-z &= 3 \\
————–&–\\
\textbf{=}\: x-y+2y+2z+w-z&=8\\
\textbf{=}\: \mathbf{x+y+z+w}&\mathbf{=8}
\end{align*}\]
Resposta: d)
Questão
Considere a matriz quadrada de ordem 3, $$A=\begin{bmatrix}
cos(x) & 0 &-sen(x) \\
0 & 1 &0 \\
sen(x) & 0 &cos(x)
\end{bmatrix}$$, onde x é um número real.
Podemos afirmar que
a) A não é invertível para nenhum valor de x .
b) A é invertível para um único valor de x .
c) A é invertível para exatamente dois valores de x .
d) A é invertível para todos os valores de x .
Solução:
Calculemos o determinante desta matriz, por meio da fórmula de cofatores (Laplace). Observa-se que, por terem entradas 0, o determinante se reduz à equação $$det(A)=(-1)^{2+2}\cdot a_{2\;2}\cdot \begin{vmatrix}
cos(x) &-sen(x) \\
sen(x) &cos(x)
\end{vmatrix} = a_{2\;2}(cos^{2}(x)+sen^{2}(x))=1\cdot 1=1$$. Lembre-se de que $$cos^{2}(x)+sen^{2}(x)=1$$.
Por isso, $$det(A)=1$$, seja qual for o valor de $$x$$. Como este determinante é diferente de 0 e não depende do $$x$$, a matriz será invertível para qualquer valor de $$x$$.
Resposta: d)
Questão
Considere o círculo de equação cartesiana $$x^{2}+y^{2}=ax+by$$, onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
Solução:
Quando $$x=0$$ (intersecção com o eixo das abscissas), os pontos possíveis são $$(0,y)$$. Substituindo na equação, obtém-se $$0^{2}+y^{2}=0x+by\Longrightarrow y^{2}-by=0\Longrightarrow y(y-b)=0$$. Daqui, se tem apenas duas opções: $$y=0$$ ou $$y=b$$, ou seja, temos os pontos $$(0,0)$$ ou $$(0,b)$$
Quando $$y=0$$ (intersecção com o eixo das ordenadas), os pontos possíveis são $$(x,0)$$. Substituindo na equação, obtém-se $$x^{2}+0^{2}=ax+0y\Longrightarrow x^{2}-ax=0\Longrightarrow x(x-a)=0$$. Daqui, se tem apenas duas opções: $$x=0$$ ou $$x=a$$, ou seja, temos os pontos $$(0,0)$$ ou $$(a,0)$$.
Há três possibilidades: $$(0,0)$$, $$(a,0)$$ e $$(0,b)$$.
Resposta: c)
 – Matemática (continuação)){kind=link}