Dado o sistema de equações lineares S:
$$\left\{\begin{array}{l}
x+2y+cz=1 \\
y+z=2\\
3x+2y+2z=-1,
\end{array}\right.$$
em que c ∈ R, determine:
a) a matriz A dos coeficientes de S e o determinante de A;
b) o coeficiente c, para que o sistema admita uma solução única.
Solução:
a) A matriz é $$A=\left[\begin{array}{cc}
1 &2&c\\
0&1&1\\
3&2&2
\end{array}\right] $$
Utilizando a regra de Sarrus, procedemos do seguinte modo:
\[\left[\begin{array}{cc}
1 &2&c\\
0&1&1\\
3&2&2
\end{array}\right] \begin{array}{cc} 1&2\\0&1\\3&2\end{array}\]
E o determinante de $$A$$ é
\[1\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 1\cdot 3 + c\cdot 0\cdot 2 – (c\cdot 1\cdot 3 + 1\cdot 1\cdot 2 + 2\cdot 0\cdot 2)=\]
\[8-3c-2 = 6-3c.\]
b) A fim de que o sistema tenha solução única, o determinante deve ser diferente de zero, isto é:
\[6-3c\neq 0 \Longleftrightarrow 3c\neq 6 \Longleftrightarrow c \neq 2.\]
