Soma e Produto – Questão 4

Para a equação do 2º grau (m – 2) x² + (2m – 5) x + (1 – 2m) = 0, determine m nos seguintes casos:

a) O produto das raízes é – 1.
b) As raízes são números opostos.
c) Uma das raízes é o número zero.

Solução:
Usaremos, em todos os exercícios, a fórmula da Soma e do Produto de raízes. Sejam $$x_{1}$$ e $$x_{2}$$ as raízes, então

• Soma = $$x_{1}+x_{2}=-\frac{2m-5}{m-2}=\frac{5-2m}{m-2} (*)$$, e
• Produto = $$x_{1}\cdot x_{2}=\frac{1-2m}{m-2} (**)$$.

a) Produto = -1. Então a equação $$(**)$$ fica

\[-1=\frac{1-2m}{m-2}\Longrightarrow -m+2 = 1-2m \Longrightarrow \]

\[2m-m = 1-2 \Longrightarrow m = -1 .\]

b) As raízes são opostas, isto é: $$x_{1}=-x_{2}$$. Substituindo tal informação na fórmula $$(*)$$, obtemos

\[x_{1}+x_{2}=0=\frac{5-2m}{m-2}.\]
Teremos, então, $$5-2m=0$$, logo $$2m=5$$ e $$m=5/2 = 2,5$$.

c) Se uma das raízes é nula, então Produto = 0. Substituindo tal informação na equação $$(**)$$, obtemos

\[0 = \frac{1-2m}{m-2}.\]

A solução ocorre quando $$1-2m=0$$, logo $$2m=1$$ e $$m=1/2$$.