Soma e Produto de raízes de uma equação do segundo grau, também conhecidas como Relações de Girard do segundo grau, são ferramentas bem-vindas no estudo das equações e funções do segundo grau. Dada uma equação do segundo grau ax²+bx+c = 0, suas raízes (reais ou complexas) são $$x_{1}$$ e $$x_{2}$$. As relações de Giard são
- Soma: $$\mathbf{x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}}$$.
- Produto: $$\mathbf{x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}}$$.
Exemplo
Quais são a soma e o produto da equação -2x²-x+7 = 0?
Observe que $$a=-2, b=-1$$ e $$c=7$$, logo $$x_{1}+x_{2}=-\frac{-1}{-2}=-\frac{1}{2}$$. Além disso,
$$x_{1}\cdot x_{2} =\frac{7}{-2}$$.
Demonstração da Soma e do Produto
Pela fórmula de Bháskara, temos as raízes $$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ e $$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$. Também sabemos que $$\Delta = b^{2}-4ac$$.
• A soma das raízes será $$x_{1}+x_{2}=$$
\[\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\]
\[\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}.\]
• O produto das raízes será $$x_{1}\cdot x_{2} =$$
\[\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= (-1)\frac{(b+\sqrt{\Delta})(b-\sqrt{\Delta})}{4a^{2}}=\]
\[(-1)\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}.\]
