Matemática Básica
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Soma e Produto de Raízes do Segundo Grau

Soma e Produto de raízes de uma equação do segundo grau, também conhecidas como Relações de Girard do segundo grau, são ferramentas bem-vindas no estudo das equações e funções do segundo grau.  Dada uma equação do segundo grau ax²+bx+c = 0, suas raízes (reais ou complexas) são $$x_{1}$$ e $$x_{2}$$. As relações de Giard são

  • Soma: $$\mathbf{x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a}}$$.
  • Produto: $$\mathbf{x_{1}\cdot x_{2}=\frac{c}{a}}$$.

 

Exemplo
Quais são a soma e o produto da equação -2x²-x+7 = 0?
Observe que $$a=-2, b=-1$$ e $$c=7$$, logo $$x_{1}+x_{2}=-\frac{-1}{-2}=-\frac{1}{2}$$. Além disso,
$$x_{1}\cdot x_{2} =\frac{7}{-2}$$.

 

Demonstração da Soma e do Produto
Pela fórmula de Bháskara, temos as raízes $$x_{1}=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ e $$x_{2}=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$. Também sabemos que $$\Delta = b^{2}-4ac$$.

A soma das raízes será $$x_{1}+x_{2}=$$

\[\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\]

\[\frac{-b+\sqrt{\Delta}-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}.\]

O produto das raízes será $$x_{1}\cdot x_{2} =$$

\[\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} \cdot \frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= (-1)\frac{(b+\sqrt{\Delta})(b-\sqrt{\Delta})}{4a^{2}}=\]

\[(-1)\frac{b^{2}-\Delta}{4a^{2}}=\frac{4ac}{4a^{2}}=\frac{c}{a}.\]

Tags: Equação do 2º Grau, Soma e Produto

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