Solução no vídeo abaixo:

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O post Derivada de t.e^2t/Ln(3t+1) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• Resposta: $$\frac{1}{2\sqrt{1-\frac{x^{2}}{4}}}$$.
• Resolução no vídeo a seguir

O post Derivada do Arco Seno de (x/2) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

O post Derivada de (x³+1)/sen(x) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

O post Derivada de (u+1)/(Ln(u)) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Sabemos que $$y(x) = arc(sen(x)) \Longleftrightarrow x = sen (y)$$, com $$y\in (-\pi/2,\pi/2)$$. Derivando os dois lados em $$x$$, obtemos

\[\frac{d}{dx}sen(y) = \frac{d}{dx}x = 1 (*).\]

Pela regra da cadeia, $$\frac{d}{dx}sen(y(x)) = y’cos(y)$$, então, da equação $$(*)$$,

\[\frac{dy}{dx}cos(y) = 1 (**).\]

Note que $$y\in (-\pi/2,\pi/2)$$ e que $$cos^{2}(y) = 1 – sen^{2}(y)$$, então a equação $$(**)$$ transforma-se em

\[y’ = \frac{1}{cos(y)}=\frac{1}{\sqrt{1-sen^{2}y}}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.\]

O post Derivada do Arco seno apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Seja y(x) = a^x.

Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados, obtemos $$Ln(y) = Ln(a^{x})$$. Como $$Ln(a^{x}) = xLn(a)$$, teremos $$Ln(y) = x Ln(a).$$

Aplicando a definição do Ln, ficamos com

\[y = e^{x\cdot Ln(a)}.\]

Agora, basta aplicarmos a regra da cadeia, pois $$y’ = (e^{x\cdot Ln(a)})’ = (x\cdot Ln(a))’\cdot e^{x\cdot Ln(a)}$$. Finalmente, obtemos

\[y'(x) = Ln(a)\cdot e^{x\cdot Ln(a)}.\]

Como $$e^{x\cdot Ln(a)} = y = a^{x}$$, podemos reescrever a equação acima na forma

\[\mathbf{y'(x) = Ln(a)\cdot a^{x}}.\]

O post Derivada de y = a^x apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Aplicando a definição, temos $$3^{y}=x$$, sobre a qual aplicamos a função $$Ln$$ dos dois lados, obtendo $$Ln(3^{y})=Ln(x)$$. Daqui, temos $$yLn(3)=Ln(x)$$.

Como $$y=Ln(x)\frac{1}{Ln(3)}$$, temos que $$y’ = \frac{1}{xLn(3)}$$.

O post Regra da Cadeia – Exercício 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Aplicando a função $$Ln$$ nos dois lados, temos $$Ln(y(x)) = x\cdot Ln(5)$$, donde tiramos que $$y(x) = e^{x\cdot Ln(5)}$$.

Aplicando a regra da cadeia sobre $$y(x)$$, obtemos

\[y'(x) = (x\cdot Ln(5))’e^{x\cdot Ln(5)} = Ln(5)\cdot e^{x\cdot Ln(5)}.\]

Como $$e^{x\cdot Ln(5)} = y = 5^{x}$$, temos, finalmente, que

\[y'(x) = Ln(5)\cdot 5^{x}.\]

O post Regra da Cadeia – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
A equação 3x+y=3 tem coeficiente angular m_s = -3. Como é perpendicular à reta r, teremos $$m_{r}\cdot m_{s}=-1$$, donde tiramos que $$m_{r}=\frac{1}{3}$$.

A fim de que seja tangente ao gráfico, teremos $$f'(x_{0})=3x_{0}^{2}=\frac{1}{3}$$, donde teremos $$x_{0}=\pm\frac{1}{3}$$.

(I) No caso $$x_{0}=\frac{1}{3}$$, $$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{27}$$, então a equação da reta tangente a esse ponto é

\[y-\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}).\]

(II) No caso $$x_{0}=-\frac{1}{3}$$, $$f(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{27}$$, então a equação da reta tangente a esse ponto é

\[y+\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}).\]

O post Equação da Reta Tangente – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.