Sabe-se que r é uma reta perpendicular à reta 3x+y=3 e tangente ao gráfico de f(x) = x³. Determine a equação da reta r.
Solução:
A equação 3x+y=3 tem coeficiente angular ms = -3. Como é perpendicular à reta r, teremos $$m_{r}\cdot m_{s}=-1$$, donde tiramos que $$m_{r}=\frac{1}{3}$$.
A fim de que seja tangente ao gráfico, teremos $$f'(x_{0})=3x_{0}^{2}=\frac{1}{3}$$, donde teremos $$x_{0}=\pm\frac{1}{3}$$.
(I) No caso $$x_{0}=\frac{1}{3}$$, $$f(\frac{1}{3})=\frac{1}{27}$$, então a equação da reta tangente a esse ponto é
\[y-\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x-\frac{1}{3}).\]
(II) No caso $$x_{0}=-\frac{1}{3}$$, $$f(-\frac{1}{3})=-\frac{1}{27}$$, então a equação da reta tangente a esse ponto é
\[y+\frac{1}{27}=\frac{1}{3}(x+\frac{1}{3}).\]
