Derivada de y = a^x

Como calcular derivadas de funções exponenciais do tipo y(x) = a^x (a elevado a x), com $$a\in ]0,+\infty[$$? Vamos aplicar uma pequena transformação e a regra da cadeia!

Solução:

Seja y(x) = a^x.

Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados, obtemos $$Ln(y) = Ln(a^{x})$$. Como $$Ln(a^{x}) = xLn(a)$$, teremos $$Ln(y) = x Ln(a).$$

Aplicando a definição do Ln, ficamos com

\[y = e^{x\cdot Ln(a)}.\]

Agora, basta aplicarmos a regra da cadeia, pois $$y’ = (e^{x\cdot Ln(a)})’ = (x\cdot Ln(a))’\cdot e^{x\cdot Ln(a)}$$. Finalmente, obtemos

\[y'(x) = Ln(a)\cdot e^{x\cdot Ln(a)}.\]

Como $$e^{x\cdot Ln(a)} = y = a^{x}$$, podemos reescrever a equação acima na forma

\[\mathbf{y'(x) = Ln(a)\cdot a^{x}}.\]