Como calcular derivadas de funções exponenciais do tipo y(x) = ax (a elevado a x), com $$a\in ]0,+\infty[$$? Vamos aplicar uma pequena transformação e a regra da cadeia!
Solução:
Seja y(x) = ax.
Aplicamos o logaritmo natural dos dois lados, obtemos $$Ln(y) = Ln(a^{x})$$. Como $$Ln(a^{x}) = xLn(a)$$, teremos $$Ln(y) = x Ln(a).$$
Aplicando a definição do Ln, ficamos com
\[y = e^{x\cdot Ln(a)}.\]
Agora, basta aplicarmos a regra da cadeia, pois $$y’ = (e^{x\cdot Ln(a)})’ = (x\cdot Ln(a))’\cdot e^{x\cdot Ln(a)}$$. Finalmente, obtemos
\[y'(x) = Ln(a)\cdot e^{x\cdot Ln(a)}.\]
Como $$e^{x\cdot Ln(a)} = y = a^{x}$$, podemos reescrever a equação acima na forma
\[\mathbf{y'(x) = Ln(a)\cdot a^{x}}.\]
