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A soma dos resultados dos determinantes das matrizes A e B

Plenus — Thu, 16 Jan 2025 17:53:26 +0000

(FATEC) A soma dos resultados dos determinantes das matrizes A e B dadas abaixo é:

$$A=\left[\begin{array}{ccc}-1&0&2\\ 4&3&5\\ 1&3&6\end{array}\right]$$ e $$B=\left[\begin{array}{ccc}4&-1&-2\\ 5&0&2\\ 1&2&-5\end{array}\right]$$

Correção FATEC 2025

(A) – 48
(B) 22
(C) 34
(D) – 19
(E) 25

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Determinantes – Exercício 6

Plenus — Wed, 26 Apr 2023 14:05:06 +0000

A é uma matriz quadrada de ordem 4 e det(A) = – 6. O valor de x tal que det(2A) = x – 97 é:
a) – 12
b) 0
c) 1
d) 972
e) 194

Solução:
Sabemos que $$det(2A) = 2^{4}\cdot det(A) = 16\cdot (-6) = -96$$.
Resolvendo a equação, temos: $$x-97 = -96$$, o que equivale a $$x = 97-96 = 1$$.

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Determinantes – Exercício 5

Plenus — Wed, 26 Apr 2023 14:01:03 +0000

O valor de um determinante de uma matriz é 42. Se dividirmos a primeira linha por 7 e multiplicarmos a primeira coluna por 3, o valor do novo determinante será:
a) 2
b) 14
c) 18
d) 21
e) 42

Solução:
Ao realizar as duas operações, temos de dividir o determinante por 7 e multiplicá-lo por 3, o que resulta em $$42\cdot 3/7 = 18.

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Determinantes – Exercício 4

Plenus — Tue, 25 Apr 2023 22:34:39 +0000

Sejam A e B matrizes reais quadradas de ordem 2 que satisfazem a seguinte propriedade: existe uma matriz
M inversível tal que: A = M^-1BM. Então:

a) det(-A^T)=det(B)
b) det(A) = – det(B)
c) det (2A) = 2 det(B)
d) Se det(B)≠ 0, então det(AB)<0
e) det(A-I) = – det(I-B)

Solução:
Usando a propriedade do determinante da multiplicação de matrizes, obtemos a relação

\[det(A)=det(M^{-1}BM) = det(M^{-1})\cdot det(B)\cdot det (M).\]

Como $$det(M^{-1}) = 1/det(M)$$, a expressão acima reduz-se a $$det(A)=det(B)$$.
Além disso, pela propriedade do determinante da matriz transposta, sabemos que $$det(A^{T})=det(A)=det(B)$$.

Por fim, como as matrizes têm ordem 2, $$det(-A^{T}) = (-1)^{2}det(A^{T}) = det(A^{T}) = det(B)$$.

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Determinantes – Exercício 3

Plenus — Thu, 20 Apr 2023 09:04:35 +0000

Se A é uma matriz 2×2 inversível que satisfaz A²=2A, então o determinante de A será:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Solução:
Para resolver o sistema, usamos as seguintes propriedade do determinante:

$$det (\alpha\cdot A) = \alpha^{n}\cdot A$$, com $$n$$ a dimensão da matriz quadrada.
$$det(AB) = det(A)\cdot det(B)$$.

Aplicando-se o terminante nos dois lados da equação A²=2A, obtemos

\[det(A²) = det(2A)\Longrightarrow\]

\[(det(A))^{2} = 2^{2}\cdot det(A) \Longrightarrow\]

\[(det(A))^{2}-4\cdot det(A) = 0\Longrigharrow\]

\[det(A)\cdot[det(A) – 4]=0.\]

A equação acima é satisfeita em dois casos: ou $$det(A)=0$$, ou $$det(A) – 4 =0$$. O primeiro caso não é válido, uma vez que a matriz é inversível, logo a única opção é $$det(A) = 4$$.

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Determinantes – Exercício 2

Plenus — Thu, 20 Apr 2023 08:49:42 +0000

Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 com determinante maior que zero e AB^-1 a sua inversa. Se 16det (A^-1)= det (2A), então o determinante de A vale:

a) 4
b) 6
c) 8
d) 2
e) 16

Solução:

Recordamo-nos de duas propriedades importantes:

$$det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$$, quando $$A$$ for inversível.
$$det (\alpha\cdot A) = \alpha^{n}\cdot A$$, com $$n$$ a dimensão da matriz quadrada.

A equação original 16det (A^-1)= det (2A) $$(*)$$ é reescrita a partir das duas propriedades acima:

\[\frac{16}{det(A)}=16\cdot det(A^{-1})) = det (2A) = 2^{2}\cdot det(A).\]

De $$\frac{16}{det(A)}=4\cdot det(A)$$, temos que (det(A))^{2}= 16/4 = 4$$. As duas possibilidades são $$det(A)=\pm 2$$. Como seu determinante é positivo, a única opção é positiva.

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ITA 2008 – Questão 4 (Matemática)

Plenus — Sat, 15 Apr 2023 02:41:39 +0000

Sejam A e C matrizes $$n\times n$$ invertíveis tais que $$det(I + C^{-1}A) = 1/3$$ e
$$det A = 5$$. Sabendo-se que $$B = 3 (A^{-1} + C^{-1})^{t}$$, então o determinante de B é igual a

a) $$3^{n}$$.
b) $$2\cdot\frac{3^{n}}{5^{2}}$$.
c) $$1/5$$.
d) $$\frac{3^{n-1}}{5}$$.
e) $$5\cdot 3^{n-1}$$.

Solução:
Gabarito: (d)

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UEMG 2022 – Questão 44

Plenus — Tue, 17 Jan 2023 12:33:55 +0000

Sejam $$A=\left[\begin{array}{cc}
log(x)& log(y)\\
1&2
\end{array}\right]$$ e $$B=\left[\begin{array}{cc}
log(y)& log(x)\\
0&1
\end{array}\right]$$, e sabendo que det A = 2 e det B = 0 , é correto

afirmar que
(A) x/y < x.
(C) x/y < y.
(C) x + y = −9 ou x + y =11.
(D) x + y =11.

Gabarito: (D)
Solução:

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UNICAMP 2022: 1ª Fase – Q.20

Plenus — Wed, 10 Nov 2021 03:09:40 +0000

Considere a matriz

\[A=\left[\begin{array}{cc} 1 & k\\ 3 & k^{2} \end{array}\right]\]

e seja $$𝐵 = 𝐴 + 𝐴^{𝑇}$$, onde $$𝐴^{𝑇}$$ é a transposta da matriz 𝐴.

Sobre o sistema

\[B \left(\begin{array}{c}x \\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 2021\\ 2022 \end{array}\right)\], é correto afirmar que:

se 𝑘 = 0, o sistema não tem solução.
se 𝑘 = −1, o sistema tem infinitas soluções.
se 𝑘 = −1, o sistema não tem solução.
se 𝑘 = 3, o sistema tem infinitas soluções.

Veja todas as resoluções de Matemática desta prova!

Solução:

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UNICAMP 2021 – 1ª Fase – 1º Dia – Q.29

Plenus — Thu, 07 Jan 2021 17:17:57 +0000

Considere 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 termos consecutivos de uma progressão aritmética de números reais com razão 𝑟.0. Denote por 𝐷 o determinante da matriz

$$\left(\begin{array}{ll}a&b\\c&d\end{array}\right)\quad.$$

É correto afirmar que 𝐷/𝑟²2 vale

a)-1

b)-2

c)-3

d) -4

Solução:

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