Em $$E=\mathbb{R}^{2}$$, mantenhamos a definição do produto $$\alpha v$$ de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma $$u+v$$, dos vetores $$u=(x,y)$$ e $$v=(x’,y’)$$. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos, e quais são violados.
a) $$u+v=(x+y’,x’+y’)$$;
b) $$u+v=(xx’,yy’)$$;
c) $$u+v=(3x+3x’,5y+5y’)$$.
Solução.

Seja V o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) de números reais e considere o corpo dos números reais. Definamos as operações:

• Soma: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (3y₁ + 3y₂ ;- x₁-x₂).
• Produto: c (x,y) = (3cy , -cx).

Esse conjunto forma um Espaço Vetorial?
Solução.

Demonstre as afirmações abaixo:

• $$0\cdot v = 0_{V}$$; (Solução)
• $$(-1)\cdot v = (-v)$$. (Solução).

Em um espaço vetorial, $$\alpha v = \beta v$$ implica que α=β? E se $$v\neq 0_{V}$$ (zero vetorial)?
Solução.

Sejam v,w e u elementos de um espaço vetorial $$V$$ . Prove que é válida a lei do cancelamento: Se $$v+w =v+u$$, então $$w=u$$.
Solução.

Demonstre que, para $$n\in\mathbb{N}$$, $$n\cdot v = \sum^{n}_{i=1}v$$.
Solução.

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Definamos as operações:

• Soma: (x₁,y₁) + (x₂,y₂) = (3y₁ + 3y₂ ;- x₁-x₂).
• Produto: c (x,y) = (3cy , -cx).

Esse conjunto forma um Espaço Vetorial?

Solução:

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Demonstração

Como $$U$$ é um subespaço próprio de $$E$$, é fato que $$E-U\neq \{0_{E}\}$$. Seja $$x\notin U$$ tal que $$x\neq 0_{E}$$, então $$v-\alpha\cdot x$$ não pertence a $$U$$, sejam quais forem $$\alpha\neq 0$$ e $$v\in U$$.

Com efeito, se existissem $$\alpha_{0}$$ e $$v_{0}$$ tais que $$v_{0}-\alpha_{0}x\in U$$, teríamos $$x=(1/\alpha_{0})v_{0}-(1/\alpha_{0})(v_{0}-\alpha_{0}\cdot x)\in U$$, pelo critério do subespaço vetorial, algo que contraria a hipótese inicial.

Agora, dado qualquer $$\delta>0$$ e qualquer $$v\in U$$, podemos escolher $$y=\frac{\delta\cdot x}{2||x||}$$, com $$x\neq 0_{E}\notin U$$. O elemento $$v-y$$, que não pertence a $$U$$, sempre estará em $$B(v,\delta)$$.

De fato, $$||v-(v-y)|| = ||y|| = ||\delta \frac{x}{2||x||}||=\frac{\delta\cdot ||x||}{2||x||}=\frac{\delta}{2}<\delta$$.

Em particular, para as classes de equivalência de $$U$$, bastaria tomar $$a\notin U$$, de modo que $$||a+\frac{\delta\cdot v}{2||v||}-a||=\frac{\delta\cdot ||v||}{2||v||}<\delta$$. Daqui, conclui-se que sempre haverá elementos (neste caso, o elemento é $$\frac{\delta\cdot v}{2||v||}$$), que não pertencem à classe $$a+U$$, ainda que pertençam ao conjunto $$B(a+v,\delta)$$.

Referência:

Lima, Elon Lages – Espaços Métricos. 4.ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009

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Demonstração:

Demonstraremos que, dado um ε>0, existe $$v\in U$$ tal que $$||v||<\epsilon$$. De fato, suponha, por absurdo, que exista $$\epsilon_{0}>0$$ para o qual $$||v||\geq\epsilon_{0}$$, para qualquer $$v\in U$$. Então, fixado $$v\in U$$, existe $$l_{v}>0$$ tal que $$\epsilon_{0}+l_{v}=||v||$$.

Como $$U$$ é subespaço, $$u=\lambda v \in U$$, para qualquer λ no corpo. Em particular, para $$\lambda = \frac{\epsilon_{0}}{2(\epsilon_{0}+l_{v})}$$, temos $$||\lambda v||=|\lambda| ||v|| = \frac{\epsilon_{0}}{2(\epsilon_{0}+l_{v})}\cdot (\epsilon_{0}+l_{v})=\epsilon_{0}/2$$, de modo que $$||u||=||\lambda v|| = \epsilon_{0}/2 < \epsilon_{0}$$, contrariando a hipótese de que existe um limitante inferior maior do que zero para as normas vetoriais de $$U$$. Isso prova o enunciado.

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a) $$u+v=(x+y’,x’+y’)$$;

b) $$u+v=(xx’,yy’)$$;

c) $$u+v=(3x+3x’,5y+5y’)$$.

Solução:

Veja os axiomas de espaço vetorial neste link.

a) O axioma da comutatividade — número i da lista linkada — é violado pela operação definida neste item. Com efeito, fazendo a operação com os fatores trocados, obtemos o seguinte resultado:

\[v+u=(x’,y’)+(x,y)=(x’+y,x+y’)\neq (x+y’,x’+y)=v+u\].

Outro axioma violado é o da existência do elemento neutro aditivo, conforme segue abaixo:

\[u+0=(x,y)+(0,0)=(x,y) \neq (y,x)=(0,0)+(x,y)=0+u\].

Os axiomas relativos à multiplicação por escalar permanecem válidos.

b)

Neste item, o axioma da existência do elemento neutro aditivo é violado. Observe:

\[u+0=(x,y)+(0,0)=(x\cdot 0,y\cdot 0)=(0,0)\neq (x,y)\].

c)

No último item, o axioma da existência do elemento neutro aditivo também é violado, como se segue:

\[u+0=(x,y)+(0,0)=(3x+3\cdot 0,5y+5\cdot 0)=(3x,5y)\neq u\].

Conclusão: todos os conjuntos acima não são subespaços vetoriais de $$E$$.

Referências

[1] – Lima,L. Elon – Álgebra Linear

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