Álgebra Linear
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Axiomas de Espaço Vetorial – Exercício 2

Em um espaço vetorial, $$\alpha v = \beta v$$ implica que α=β? E se $$v\neq 0_{V}$$ (zero vetorial)?

Solução:

Façamos as contas passo a passo.

\[\alpha v=\beta v\Longleftrightarrow \alpha v-\beta v=0_{V}\Longleftrightarrow (\alpha-\beta)v=0_{V}\]

Por uma propriedade que diz $$a\cdot v=0_{V}\Longrightarrow a=0\;ou\;v=0_{V}$$, experimentamos as duas opções. No primeiro caso, vale que $$\alpha-\beta =0\Longrightarrow \alpha=\beta$$.

Na segunda, porém, é possível obter $$(\alpha-\beta)\cdot 0_{V}=0_{V}$$ e $$\alpha\neq \beta$$.

Portanto a afirmação (implicação) não é válida, dado existir o caso $$v=0_{V}$$.

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