Em $$E=\mathbb{R}^{2}$$, mantenhamos a definição do produto $$\alpha v$$ de um número por um vetor, mas modifiquemos, de 3 maneiras diferentes, a definição da soma $$u+v$$, dos vetores $$u=(x,y)$$ e $$v=(x’,y’)$$. Em cada tentativa, dizer quais axiomas de espaço vetorial continuam válidos, e quais são violados.
a) $$u+v=(x+y’,x’+y’)$$;
b) $$u+v=(xx’,yy’)$$;
c) $$u+v=(3x+3x’,5y+5y’)$$.
Solução:
Veja os axiomas de espaço vetorial neste link.
a) O axioma da comutatividade — número i da lista linkada — é violado pela operação definida neste item. Com efeito, fazendo a operação com os fatores trocados, obtemos o seguinte resultado:
\[v+u=(x’,y’)+(x,y)=(x’+y,x+y’)\neq (x+y’,x’+y)=v+u\].
Outro axioma violado é o da existência do elemento neutro aditivo, conforme segue abaixo:
\[u+0=(x,y)+(0,0)=(x,y) \neq (y,x)=(0,0)+(x,y)=0+u\].
Os axiomas relativos à multiplicação por escalar permanecem válidos.
b)
Neste item, o axioma da existência do elemento neutro aditivo é violado. Observe:
\[u+0=(x,y)+(0,0)=(x\cdot 0,y\cdot 0)=(0,0)\neq (x,y)\].
c)
No último item, o axioma da existência do elemento neutro aditivo também é violado, como se segue:
\[u+0=(x,y)+(0,0)=(3x+3\cdot 0,5y+5\cdot 0)=(3x,5y)\neq u\].
Conclusão: todos os conjuntos acima não são subespaços vetoriais de $$E$$.
Referências
[1] – Lima,L. Elon – Álgebra Linear
