b) Sejam $$B$$ e $$C$$ matrizes $$m\times n$$, tais $$BX = CX$$, para todo $$X$$, $$n\times 1$$. Mostre que $$B = C$$. (Sugestão: use o item anterior.)

Solução:

a) Dada a afirmação de que $$AX=0$$, para todo vetor $$X$$ na condição apresentada, podemos substituir $$X=E_{j}$$, para todo $$j\in\{1,..,n\}$$.

Deste modo, notamos que $$AE_{j}=0$$, mas, do exercício anterior, $$AE_{j}=A_{j}$$ (vetor coluna da matriz). Portanto, $$AE_{j}=A_{j}=0$$ (vetor nulo), para todo $$j$$. Segue que a matriz é formada por vetores colunas nulos, isto é, ela também é nula.

b) \[BX=CX \longrightarrow BX-CX=0 \longrightarrow (B-C)X=0\].

Do item anterior, a matriz $$B-C$$ é nula, ou seja, $$B-C=0\longrightarrow B=C$$.

O post Mostre a propriedade de matrizes apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Experimentamos, inicialmente, realizar o cálculo de A². Assim,

\[\left[\begin{array}{cc} -2 & 3\\ -1 & 2 \end{array}\right]\times\left[\begin{array}{cc} -2 & 3\\ -1 & 2 \end{array}\right]=\]

\[\left[\begin{array}{cc} (-2)\cdot (-2) +3\cdot (-1) & (-2)\cdot 3 + 3\cdot 2\\ (-1)\cdot (-2)+ 2\cdot (-1) & (-1)\cdot 3 + 2\cdot 2 \end{array}\right]=\]

\[\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]=I\]

Observamos que $$A^{2}=I$$. Desse modo, podemos escrever $$A^{15}=A^{14}\cdot A$$. Observe que $$A^{14}=(A^{2})^{7}=I^{7}=I$$ Portanto, $$A^{15}=I\cdot A = A$$.

Resposta: b)

O post UNESP 2012/2 – 1ª Fase – Q.86 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Sempre, pois é uma expansão binomial.
b) Se, e somente se, uma delas for a matriz identidade.
c) Sempre, pois o produto de matrizes é associativo.
d) Quando o produto AB for comutativo com BA.
e) Se, e somente se, A = B.

Solução:

Por definição, $$(A+B)^{2}=(A+B)(A+B)=$$

\[A^{2}+AB+BA+B^{2}.\]

Nem todo produto de matrizes é comutativo. A fim de que tenhamos $$AB+BA = 2AB$$, temos $$AB = BA$$.

Resposta: d)

O post Matrizes – Exercício 2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[A\left[\begin{array}{cc} 1&2\\3&4 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1&x\\y&0 \end{array}\right]\quad\text{e} \]

\[A\left[\begin{array}{cc} 2&3\\4&5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} x&3\\y+1&1 \end{array}\right]. \]

Então, o traço da matriz A é:

a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

Solução:

Seja $$A=\left[\begin{array}{cc} a&b\\c&d \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1&x\\y&0 \end{array}\right]$$. Considerando apenas os elementos dos produtos matriciais que são números, a primeira equação matricial, fornece-nos $$a+3b=1$$ e $$2c+4d=0$$; a segunda equação matricial fornece-nos $$3a+5b=3$$ e $$3c+5d=1$$.

Resolvendo o sistema (a,b): $$a= 1-3b$$, então $$3-9b+3b = 3$$, o que implica $$b=0$$ e $$a=1$$.

Resolvendo o sistema (c,d): $$c = -2d$$, então $$-6d+5d = 1$$, o que implica $$d=-1$$ e $$c = 2$$.

O traço é a soma dos elementos da diagonal principal de uma matriz quadrada, então

\[tr(A)=tr(\left[\begin{array}{cc} 1&0\\2&-1 \end{array}\right])=1+(-1)=0.\]

Resposta: a)

O post ITA 2021 – Q. 48 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

A multiplicação $$C=AB$$ é uma matriz de ordem 2 X 2, cujos elementos são listados a seguir:

• $$c_{11}=a_{1\;1}b_{1\;1}+a_{1\;2}b_{2\;1}= a\cdot 1 + b\cdot 0 = a$$;
• $$c_{12}=a_{1\;1}b_{2\; 1}+a_{1\; 2}b_{2\; 2} =ab+0\cdot 1 = ab $$;
• $$c_{2\; 1}=a_{2\; 1}b_{1\; 1}+a_{2\;2}b_{1\; 2}=0\cdot 1 + ab = ab$$; e
• $$c_{2\; 2}=a_{2\; 1}b_{1\; 2}+a_{2\;2}b_{2\; 2}=0\cdot b + a\cdot 1 = a$$

A fim de que $$C=I$$, temos

\[\left[\begin{array}{cc} a&ab\\ab&a \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} 1&0\\0&1 \end{array}\right],\]

e isso implica que $$a=1$$ e $$ab = 0$$, daqui temos $$b=0$$.

O post Matrizes – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

As colunas da matriz $$M$$ são decompostas do seguinte modo:

i) $$m_{i}=\left(\begin{array}{c} (a_{i})_{r\times 1} \\ (f_{i})_{s\times 1} \end{array}\right)$$, para $$i\in\{1,…,r\}$$, em que $$a_{i}$$ é a i-ésima uma coluna de $$A$$ e $$f_{i}$$ é a i-ésima coluna de $$F$$;

ii) $$m_{r+i}=\left(\begin{array}{c} (h_{i})_{r\times 1} \\ (b_{i})_{s\times 1} \end{array}\right)$$, para $$i\in\{1,…,s\}$$, em que $$b_{i}$$ é a i-ésima coluna de $$B$$ e $$h_{i}$$ é a i-ésima coluna de $$H$$.

O produto $$Mv$$ pode ser visto como a combinação linear das colunas de $$M$$ pelos coeficientes de $$v$$. Assim,

\[Mv = v_{1}m_{1}+…v_{r}m_{r}+v_{r+1}m_{r+1}+…+v_{r+s}m_{r+s}=\]

\[(u_{1}m_{1}+…+u_{r}m_{r})+(w_{1}m_{r+1}+…+w_{s}m_{r+s}) (*).\]

Nota-se que

\[\sum_{i=1}^{r}u_{i}m_{i}=\sum_{i=1}^{r}u_{i}\left(\begin{array}{c} (a_{i})_{r\times 1} \\ (f_{i})_{s\times 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{i=1}^{r} u_{i}a_{i} \\ \sum_{i=1}^{r} u_{i}f_{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} (Au)_{r\times 1} \\ (Fu)_{s\times 1} \end{array}\right).\]

Essa última igualdade justifica-se pelo fato de que $$\sum_{i=1}^{r}u_{i}a_{i}$$ é combinação linear das colunas da matriz $$A$$, e isso equivale ao produto $$Au$$. O mesmo raciocínio se aplica ao produto $$Fu$$.

De modo semelhante, temos

\[\sum_{i=1}^{s}w_{i}m_{r+i}=\sum_{i=1}^{s}w_{i}\left(\begin{array}{c} (h_{i})_{r\times 1} \\ (b_{i})_{s\times 1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{i=1}^{s} w_{i}h_{i} \\ \sum_{i=1}^{s} w_{i}b_{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} (Hw)_{r\times 1} \\ (Bw)_{s\times 1} \end{array}\right).\]

A expressão $$(*)$$ torna-se igual a

\[\left(\begin{array}{c} (Au)_{r\times 1} \\ (Fu)_{s\times 1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} (Hw)_{r\times 1} \\ (Bw)_{s\times 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} Au+Hw \\ Fu+Bw \end{array}\right).\]

O post Matrizes em bloco – Exercício 1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Questão

Considere a matriz $$\left[\begin{array}{cc} a&0\\b&1 \end{array}\right]$$ , onde a e b são números reais. Se $$A^{2}=A$$ é invertível, então

a) a = 1 e b = 1.

b) a = 1 e b = 0.

c) a= 0 e b = 0.

d) a = 0 e b = 1.

Solução:

Próximas Questões

O post UNICAMP 2015 – 1ª Fase – Questão 20 – Matemática apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Seja $$A$$ uma matriz de ordem $$m\times n$$, e seja $$B$$ uma matriz de ordem $$n\times p$$ que vamos indicar da seguinte forma:

\[B = [Y_{1} · · · Y_{j} · · · Y_{p}]\]

em que a matriz coluna $$Y_{j}$$ de ordem $$n\times 1$$ é a j–ésima coluna da matriz $$B$$. Mostre que podemos escrever a matriz C = AB da seguinte forma:

\[C = AB =  [AY_{1} · · · AY_{j} · · · AY_{p}] \],

em que a matriz coluna $$Z_{j} = AY_{j}$$ de ordem $$m\times 1$$ × 1 é a j–ésima coluna da matriz C.

Solução:

A coluna (j) da matriz $$C$$ tem os seus elementos de linha obtidos do seguinte modo: $$c_{ij}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj}$$.

Daqui, temos a representação matricial da coluna: $$(\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})_{i\in\{1,..,m\}}$$, que pode ser manipulada algebricamente para se obter o resultado desejado.

\[ (\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})_{i\in\{1,..,m\} }=(a_{i1}b_{1j}+…+a_{in}b_{nj})_{i\in\{1,..,m\}}= b_{1j}(a_{i1})_{i\in\{1,..,m\}}+…+b_{nj}(a_{in})_{i\in\{1,..,m\}}=b_{1j}A_{1}+…+b_{nj}A_{n}\].

Aqui, $$A_{s}$$ é a coluna de índice (s) da matriz $$A$$.

Pelo teorema demonstrado na exercício anterior, a última igualdade corresponde ao desenvolvimento a seguir:

\[b_{1j}A_{1}+…+b_{nj}A_{n} = AY_{j}\].

Aqui, provamos que $$AY_{j}$$ é a coluna de índice (j) da matriz $$AB$$. Por conseguinte, conclui-se que $$C=AB=[AY_{1}|…|AY_{p}]$$.

Referências

Petronio Pulino – Álgebra Linear e suas aplicações, Capítulo 2

O post Álgebra Linear – Produto de Matrizes (exercício 3) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Exercício 2

Sejam $$A$$ uma matriz de ordem $$m \times n$$ e $$X$$ uma matriz coluna de ordem $$n \times 1$$, que são indicadas da seguinte forma:

$$A=[Y_{1} … Y_{j}…Y_{n}]$$ e $$X=\left[\begin{array}{c} x_{1}\\.\\x_{j}\\.\\ x_{n} \end{array}\right] $$, em que a matriz coluna $$Y_{j}$$ de ordem $$m\times 1$$ é a j-ésima coluna da matriz $$A$$. Mostre que o podemos escrever o produto $$AX$$ da seguinte forma:

\[AX=x_{1}Y_{1}+…+x_{n}Y_{n}\].

Solução:

Da definição de produto matricial, $$AX =(c_{i1})$$ é uma matriz de ordem $$m\times 1$$, cujos  elementos das linhas são obtidos assim: $$c_{i1}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}x_{k1}=\sum^{n}_{k=1}x_{k}a_{ik}$$.

Por outro lado, as propriedades de soma de matrizes e produto de escalar por matriz nos garantem o seguinte desenvolvimento:

\[x_{1}Y_{1}+…+x_{n}Y_{n}= x_{1}(a_{i1})_{i\in\{1,..,m\}}+…+ x_{n}(a_{in})_{i\in\{1,..,m\}} = (x_{1}a_{ij})_{i\in\{1,..,m\}}+…+(x_{n}a_{in})_{i\in\{1,..,m\}} =(x_{1}a_{ij} +…+x_{n}a_{in})_{i\in\{1,..,m\}}\]

\[=\left[\begin{array}{c} x_{1}a_{11}+…+x_{n}a_{1n}\\.\\.\\ x_{1}a_{m1}+…+x_{n}a_{mn} \end{array}\right]_{m\times 1}=M\]

As dimensões da matriz resultante coincidem com as dimensões de $$AX$$, e os elementos da matriz resultante coincidem com os elementos obtidos da definição para o produto $$AX$$, isto é:

\[M=\left[\begin{array}{c} \sum^{n}_{k=1}x_{k}a_{1k}\\.\\.\\ \sum^{n}_{k=1}x_{k}a_{mk}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} c_{11}\\.\\.\\ c_{m1}\end{array}\right] =AX\]

Referências

Petronio Pulino – Álgebra Linear e suas aplicações, Capítulo 2

Próximos exercícios

O post Álgebra Linear – Produto de Matrizes (exercício 2) apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Dada a matriz coluna $$(e_{j})_{n\times 1}= \left[\begin{array}{c} 0\\.\\1\\.\\ 0 \end{array}\right] $$, com $$e_{j1}=1$$ e $$e_{k1}=0$$, para $$k\neq j$$. Prove que $$Ae_{j}$$ corresponde à coluna de índice $$i$$ da matriz $$A$$.

b) Dada a matriz linha $$(e_{i})^{T}_{1\times m}=(0,…1,..0)$$, com $$e_{1i}=1$$ e $$e_{1k}=0$$, para $$k\neq i$$. Prove que $$(e_{j})^{T}A$$ corresponde à linha de índice $$j$$ da matriz $$A$$.

c) Prove que $$e_{i}^{T}Ae_{j}=a_{ij}$$.

Solução:

Usa-se a definição de produto matricial para a resolução: $$AB=(c_{ij})$$, em que $$c_{ij}=\sum^{k}_{s=1}a_{is}b_{sj}$$, se o produto for bem definido.

a) O produto $$Ae_{j}$$ resulta, por definição, em uma matrix $$m\times 1$$ (vetor coluna), tal que $$Ae_{j}= (c_{p1})$$.

Da definição de produto, $$c_{p1}=\sum^{n}_{s=1}a_{ps}e_{s1}= \sum^{n}_{s\neq j}a_{ps}e_{s1}+a_{pj}e_{j1}=0+a_{pj}e_{j1}=a_{pj}e_{j1}=a_{pj}$$.

Daqui, observamos que $$Ae_{j}=\left[\begin{array}{c} a_{1j}\\.\\.\\.\\ a_{mj} \end{array}\right] $$ (j-ésima coluna de $$A$$).

b) O produto $$(e_{i})^{T}A$$ resulta, por definição, em uma matrix $$1\times n$$ (vetor linha), tal que $$(e_{i})^{T}A= (c_{1q})$$

Da definição de produto, $$c_{1q}=\sum^{m}_{s=1}e_{1s}a_{sq}= \sum^{n}_{s\neq i}e_{1s}a_{sq}+e_{1i}a_{iq}=0+e_{1i}a_{iq}=e_{1i}a_{iq}=a_{iq}$$.

Daqui, observa-se que $$(e_{i})^{T}A=(a_{i1},…,a_{in})$$.

c) Usando as propriedades anteriores, facilmente obtém-se a solução.

\[e_{i}^{T}Ae_{j}=e_{i}^{T}\left[\begin{array}{c} a_{1j}\\.\\.\\.\\ a_{mj} \end{array}\right] =a_{ij}\].

O post Produto Matricial (exercício) apareceu primeiro em Educacional Plenus.