Dadas as matrizes quadradas $$A$$ e $$B$$, e dada a matriz $$M=\left[\begin{array}{cc} A_{r\times r} & H_{r\times s}\\ F_{s\times r}&B_{s\times s} \end{array}\right]$$, uma matriz quadrada com estrutura de blocos, prove que $$Mv = \left(\begin{array}{c} Au + Hw \\ Fu+Bw \end{array}\right)$$, para um vetor $$v=\left(\begin{array}{c} u_{r\times 1} \\ w_{s\times 1} \end{array}\right)_{r+s\times 1}$$.
Solução:
As colunas da matriz $$M$$ são decompostas do seguinte modo:
i) $$m_{i}=\left(\begin{array}{c} (a_{i})_{r\times 1} \\ (f_{i})_{s\times 1} \end{array}\right)$$, para $$i\in\{1,…,r\}$$, em que $$a_{i}$$ é a i-ésima uma coluna de $$A$$ e $$f_{i}$$ é a i-ésima coluna de $$F$$;
ii) $$m_{r+i}=\left(\begin{array}{c} (h_{i})_{r\times 1} \\ (b_{i})_{s\times 1} \end{array}\right)$$, para $$i\in\{1,…,s\}$$, em que $$b_{i}$$ é a i-ésima coluna de $$B$$ e $$h_{i}$$ é a i-ésima coluna de $$H$$.
O produto $$Mv$$ pode ser visto como a combinação linear das colunas de $$M$$ pelos coeficientes de $$v$$. Assim,
\[Mv = v_{1}m_{1}+…v_{r}m_{r}+v_{r+1}m_{r+1}+…+v_{r+s}m_{r+s}=\]
\[(u_{1}m_{1}+…+u_{r}m_{r})+(w_{1}m_{r+1}+…+w_{s}m_{r+s}) (*).\]
Nota-se que
\[\sum_{i=1}^{r}u_{i}m_{i}=\sum_{i=1}^{r}u_{i}\left(\begin{array}{c} (a_{i})_{r\times 1} \\ (f_{i})_{s\times 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{i=1}^{r} u_{i}a_{i} \\ \sum_{i=1}^{r} u_{i}f_{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} (Au)_{r\times 1} \\ (Fu)_{s\times 1} \end{array}\right).\]
Essa última igualdade justifica-se pelo fato de que $$\sum_{i=1}^{r}u_{i}a_{i}$$ é combinação linear das colunas da matriz $$A$$, e isso equivale ao produto $$Au$$. O mesmo raciocínio se aplica ao produto $$Fu$$.
De modo semelhante, temos
\[\sum_{i=1}^{s}w_{i}m_{r+i}=\sum_{i=1}^{s}w_{i}\left(\begin{array}{c} (h_{i})_{r\times 1} \\ (b_{i})_{s\times 1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \sum_{i=1}^{s} w_{i}h_{i} \\ \sum_{i=1}^{s} w_{i}b_{i} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} (Hw)_{r\times 1} \\ (Bw)_{s\times 1} \end{array}\right).\]
A expressão $$(*)$$ torna-se igual a
\[\left(\begin{array}{c} (Au)_{r\times 1} \\ (Fu)_{s\times 1} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} (Hw)_{r\times 1} \\ (Bw)_{s\times 1} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} Au+Hw \\ Fu+Bw \end{array}\right).\]
