Seja $$A$$ uma matriz de ordem $$m\times n$$, e seja $$B$$ uma matriz de ordem $$n\times p$$ que vamos indicar da seguinte forma:
\[B = [Y_{1} · · · Y_{j} · · · Y_{p}]\]
em que a matriz coluna $$Y_{j}$$ de ordem $$n\times 1$$ é a j–ésima coluna da matriz $$B$$. Mostre que podemos escrever a matriz C = AB da seguinte forma:
\[C = AB = [AY_{1} · · · AY_{j} · · · AY_{p}] \],
em que a matriz coluna $$Z_{j} = AY_{j}$$ de ordem $$m\times 1$$ × 1 é a j–ésima coluna da matriz C.
Solução:
A coluna (j) da matriz $$C$$ tem os seus elementos de linha obtidos do seguinte modo: $$c_{ij}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj}$$.
Daqui, temos a representação matricial da coluna: $$(\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})_{i\in\{1,..,m\}}$$, que pode ser manipulada algebricamente para se obter o resultado desejado.
\[ (\sum^{n}_{k=1}a_{ik}b_{kj})_{i\in\{1,..,m\} }=(a_{i1}b_{1j}+…+a_{in}b_{nj})_{i\in\{1,..,m\}}= b_{1j}(a_{i1})_{i\in\{1,..,m\}}+…+b_{nj}(a_{in})_{i\in\{1,..,m\}}=b_{1j}A_{1}+…+b_{nj}A_{n}\].
Aqui, $$A_{s}$$ é a coluna de índice (s) da matriz $$A$$.
Pelo teorema demonstrado na exercício anterior, a última igualdade corresponde ao desenvolvimento a seguir:
\[b_{1j}A_{1}+…+b_{nj}A_{n} = AY_{j}\].
Aqui, provamos que $$AY_{j}$$ é a coluna de índice (j) da matriz $$AB$$. Por conseguinte, conclui-se que $$C=AB=[AY_{1}|…|AY_{p}]$$.
Referências
Petronio Pulino – Álgebra Linear e suas aplicações, Capítulo 2
