Exercício 2
Sejam $$A$$ uma matriz de ordem $$m \times n$$ e $$X$$ uma matriz coluna de ordem $$n \times 1$$, que são indicadas da seguinte forma:
$$A=[Y_{1} … Y_{j}…Y_{n}]$$ e $$X=\left[\begin{array}{c} x_{1}\\.\\x_{j}\\.\\ x_{n} \end{array}\right] $$, em que a matriz coluna $$Y_{j}$$ de ordem $$m\times 1$$ é a j-ésima coluna da matriz $$A$$. Mostre que o podemos escrever o produto $$AX$$ da seguinte forma:
\[AX=x_{1}Y_{1}+…+x_{n}Y_{n}\].
Solução:
Da definição de produto matricial, $$AX =(c_{i1})$$ é uma matriz de ordem $$m\times 1$$, cujos elementos das linhas são obtidos assim: $$c_{i1}=\sum^{n}_{k=1}a_{ik}x_{k1}=\sum^{n}_{k=1}x_{k}a_{ik}$$.
Por outro lado, as propriedades de soma de matrizes e produto de escalar por matriz nos garantem o seguinte desenvolvimento:
\[x_{1}Y_{1}+…+x_{n}Y_{n}= x_{1}(a_{i1})_{i\in\{1,..,m\}}+…+ x_{n}(a_{in})_{i\in\{1,..,m\}} = (x_{1}a_{ij})_{i\in\{1,..,m\}}+…+(x_{n}a_{in})_{i\in\{1,..,m\}} =(x_{1}a_{ij} +…+x_{n}a_{in})_{i\in\{1,..,m\}}\]
\[=\left[\begin{array}{c} x_{1}a_{11}+…+x_{n}a_{1n}\\.\\.\\ x_{1}a_{m1}+…+x_{n}a_{mn} \end{array}\right]_{m\times 1}=M\]
As dimensões da matriz resultante coincidem com as dimensões de $$AX$$, e os elementos da matriz resultante coincidem com os elementos obtidos da definição para o produto $$AX$$, isto é:
\[M=\left[\begin{array}{c} \sum^{n}_{k=1}x_{k}a_{1k}\\.\\.\\ \sum^{n}_{k=1}x_{k}a_{mk}\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c} c_{11}\\.\\.\\ c_{m1}\end{array}\right] =AX\]
Referências
Petronio Pulino – Álgebra Linear e suas aplicações, Capítulo 2
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