1ª Fase - UNESPMatrizes e Determinantes
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UNESP 2012/2 – 1ª Fase – Q.86

Dada a matriz $$A=\left[\begin{array}{cc} -2 & 3\\ -1 & 2 \end{array}\right]$$  e definindo-se $$A^{0} = I$$, $$A^{1} = A$$ e $$A^{K} = A\cdot A\cdot A\cdot  …\cdot A$$, com k fatores, onde I é uma matriz identidade de ordem 2, k ∈ IΝ e k ≥ 2, a matriz $$A^{15}$$ será dada por:
(A) I.
(B) A.
(C) A².
(D) A³.
(E) $$A^{4}$$.



Solução:

Experimentamos, inicialmente, realizar o cálculo de A². Assim,

\[\left[\begin{array}{cc} -2 & 3\\ -1 & 2 \end{array}\right]\times\left[\begin{array}{cc} -2 & 3\\ -1 & 2 \end{array}\right]=\]

\[\left[\begin{array}{cc} (-2)\cdot (-2) +3\cdot (-1) & (-2)\cdot 3 + 3\cdot 2\\ (-1)\cdot (-2)+ 2\cdot (-1) & (-1)\cdot 3 + 2\cdot 2 \end{array}\right]=\]

\[\left[\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{array}\right]=I\]

Observamos que $$A^{2}=I$$. Desse modo, podemos escrever $$A^{15}=A^{14}\cdot A$$. Observe que $$A^{14}=(A^{2})^{7}=I^{7}=I$$ Portanto, $$A^{15}=I\cdot A = A$$.

Resposta: b)

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