Um agricultor é informado sobre um método de proteção para sua lavoura que consiste em inserir larvas específicas, de rápida reprodução. A reprodução dessas larvas faz com que sua população multiplique-se por 10 a cada 3 dias e, para evitar eventuais desequilíbrios, é possível cessar essa reprodução aplicando-se um produto X. O agricultor decide iniciar esse método com 100 larvas e dispõe de 5 litros do produto X, cuja aplicação recomendada é de exatamente 1 litro para cada população de 200 000 larvas. A quantidade total do produto X de que ele dispõe deverá ser aplicada de uma única vez. Quantos dias após iniciado esse método o agricultor deverá aplicar o produto X?
a) 2
b) 4
c) 6
d) 12
e) 18
Solução:
A função exponencial que fornece a população larval será dada por $$p(t)=100\cdot 10^{t}$$, em que $$t$$ é o total de conjuntos de 3 dias. Note que, se $$t=0$$, a população é $$p(0)=100$$, o valor inicial. Além disso, de acordo com as especificações do produto, ele poderá lidar com, no máximo, um total de $$5\cdot 200.000 = 1.000.000=10^{6}$$ de larvas.
A fim de que $$p(t)=10^{6}$$, devemos encontrar o valor de $$t$$ para o qual a expressão é $$10^{6}= 100\cdot 10^{t}$$; isto é:
\[100\cdot 10^{t} = 10^{6}\Longrightarrow\]
\[10^{t}=10^{6}/100 = 10^{4}\Longrightarrow\]
\[t = 4.\]
Como $$t=4$$ é o total de conjunto de 3 dias, teremos $$3\cdot 4 = 12$$ dias como resposta.
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