Resolução – FGV/Economia/SP (2016) – Matemática – 1ª fase

Questão 01

De acordo com matéria da revista The Economist divulgada em 2014, o Brasil tem o quinto Big Mac mais caro do mundo, ao preço de US$ 5,86. A mesma matéria aponta o preço do Big Mac nos EUA (US$ 4,80) como o décimo quarto mais caro do mundo. Se usássemos o preço do Big Mac nos EUA (em US$) como referência de preço, então o preço do Big Mac no Brasil (em US$) supera o dos EUA em, aproximadamente,

a) 22%.
b) 18%.
c) 16%.
d) 12%.
e) 6%.

Solução:

Usando a fórmula do acréscimo, $$V_{2}=V_{1}\cdot (1+i)$$, onde $$i$$ é a taxa de juros, obtemos este resultado.

\[5,86=4,80\cdot (1+i)\Longrightarrow i=\frac{5,86}{4,80}-1=0,2208\cong 22\%\].

Resposta: a)


Questão 02

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Na reta numérica indicada a seguir, todos os pontos marcados estão igualmente espaçados.

Sendo assim, a soma do numerador com o denominador da fração irredutível que representa x é igual a
a) 39.
b) 40.
c) 41.
d) 42.
e) 43.

Solução:

Observe que, entre 3 e 4 há apenas um sétimo de unidade inteira, subdividida em 4 partes. Deste modo, $$x$$ é resultado de $$\frac{3}{7}+\frac{1/4}{7}=\frac{12}{28}+\frac{1}{28}=\frac{13}{28}$$.

A soma do numerador com o denominador é 13+28 = 41.

Resposta: c)


Questão 03

Um professor de matemática aplica três provas em seu curso (P1, P2, P3), cada uma valendo de 0 a 10 pontos. A nota final do aluno é a média aritmética ponderada das três provas, sendo que o peso da prova $$P_{n}$$ é igual a n². Para ser aprovado na matéria, o aluno tem que ter nota final maior ou igual a 5,4.
De acordo com esse critério, um aluno será aprovado nessa disciplina, independentemente das notas tiradas nas duas primeiras provas, se tirar na P3, no mínimo, nota

a) 7,6.
b) 7,9.
c) 8,2.
d) 8,4.
e) 8,6.

Solução:

Note que o peso de 3 é 3² = 9.

Supondo que as notas nas primeiras duas provas sejam iguais a zero, isto é, sua aprovação depende apenas da nota na última prova, então temos:

\[\frac{0+9\cdot P_{3}}{1+4+9}=5,4\Longrightarrow P_{3}=(5,4\cdot 14)/9=8,4\].

Resposta: d)


Questão 04

O triângulo ABC possui medidas conforme indica a figura a seguir.

A área desse triângulo, em cm2, é igual a

a) 8

b) $$6\sqrt{2}$$.

c) $$4\sqrt{6}$$.

d) 10

e) $$6\sqrt{6}$$.

 

Solução:

I. Calculamos o cosseno do ângulo no vértice B, através da lei dos cossenos ( a²=b²+c²-2bc cos(A)  ).

\[\sqrt{65}^{2}=65=16+25-2\cdot 4\cdot 5\cdot cos(A)\Longrightarrow cos(A)=-\frac{24}{40}=-\frac{3}{5}\].

 

II.  Calculamos o seno do ângulo no vértice A, através da identidade trigonométrica (sen²(A) + cos²(A)=1 ).

\[sen(A)^{2}=1-((\frac{3}{5})^{2}=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}\Longrightarrow sen(A)=\pm\frac{4}{5}\].

Como A é parte de um triângulo, o seu seno sempre será positivo, portanto é $$\frac{4}{5}$$.

 

III. Calculamos a área do triângulo com a fórmula lado 1 $$\times$$ lado 2 $$\times sen(A)/2$$. Sendo os lados adjacentes ao ângulo.

\[A=\frac{5\cdot 4\cdot (4/5)}{2}=8\].

Resposta: a)


Questão 05

Três números formam uma progressão geométrica. A média aritmética dos dois primeiros é 6, e a do segundo com o terceiro é 18. Sendo assim, a soma dos termos dessa progressão é igual a

a) 18.
b) 36.
c) 39.
d) 42.
e) 48.

Solução:

 

Os números são $$x$$,$$xq$$ e $$xq^{2}$$, em que o número $$q$$ é a razão da progressão geométrica. Pela média aritmética dos dois termos:

\[\frac{x+xq}{2}=6\Longrightarrow x(1+q)=12\].

Pela segunda informação, temos:

\[\frac{xq+xq^{2}}{2}=18\Longrightarrow xq(1+q)=36\].

Substituindo a primeira equação na segunda, obtemos:

\[12\cdot q = 36\Longrightarrow q = 3\].

Substituindo na primeira, obtemos:

\[x=\frac{12}{4}=3\].

Assim, a soma dos três primeiros será:

\[3+3\cdot 3 + 3\cdot 3^{2}=39\]

Resposta: c)


Questão 06

O resto da divisão do número $$6^{2015}$$ por 10 é igual a

a) 4.
b) 5.
c) 6.
d) 8.
e) 9.

Solução:

Escrevemos $$6^{2015} = 10\cdot q + r$$, onde $$ 0 \leq r< r$$.

Note que potências de 6 sempre terão o último algarismo igual a 6, como no exemplo, $$6\cdot 6 = 26$$. Além disso, múltiplos de 10 (10q) são sempre terminados em 0. Deste modo, a fim de que a unidade de $$6^{2015}$$ seja igual a $$10q+r$$, $$r=6$$, pois $$10q$$ é terminado em zero.

Resposta: c)

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