Matemática PUC - Campinas

Resolução – PUC – Campinas 2014 – Matemática

Questão 20

Em um triângulo retângulo, a medida de um dos catetos corresponde a 60% da medida da hipotenusa. Nas condições dadas, o perímetro desse triângulo supera a medida da hipotenusa em

a) 140%.

b) 160%.

c) 180%.

d) 220%.

e) 240%

Solução:

Seja $$a$$ a hipotenusa, e sejam $$b$$ e $$c$$ os catetos. Tome $$b=0,6a$$, isto é, $$b$$ é 60% da hipotenusa.

Por Pitágoras,  $$a^{2}=b^{2}+c^{2}=0,6^{2}a^{2}+c^{2}$$. Daqui, $$0,64a^{2}=(1-0,36)a^{2}=c^{2}$$, logo é fato que $$c=0,8\cdot a$$.

O perímetro é $$a+b+c=a+0,6a+0,8a = 2,4a$$. Isto significa que o perímetro supera em 140%

Resposta: a)


Questão 21

O produto das raízes reais da equação polinomial $$(4x^{2}-2)(x^{2}-x+1)(\frac{2x-1}{2})=0$$ é igual a:

a)$$-(\sqrt{2}/2)$$

b) $$-(1/2)$$

c) $$-(2/52)$$

d) $$-(\sqrt{2}/4)$$

e) $$-(1/4)$$

Solução:

Este polinômio é produto de três polinômios distintos, dois de segundo grau, um de primeiro grau. Basta calcular as raízes de cada um, individualmente, e multiplicá-las. Lembre-se: calcular as raízes de uma equação é o mesmo que encontrar quais valores valores de $$x$$ tornam a equação igual a 0.

i) $$4x^{2}-2=0\longrightarrow 4x^{2}=2\longrightarrow x^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\longrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

ii) $$x^{2}-x+1=0$$. Por Bhaskara: $$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(1)^{2}-4}}{2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{-3}}{2}$$. Não há solução real para a raiz quadrada, $$\sqrt{-3}$$. Portanto não há solução real para esta equação.

iii) $$\frac{2x-1}{2}=0\longrightarrow 2x-1=0\longrightarrow 2x=1\longrightarrow x=\frac{1}{2}$$.

O produto será $$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{-\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{2}}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$$.

Resposta: e)


Questão 23

Marlene têm um conjunto de cinco dados com forma de poliedros regulares convexos, como se vê na figura. As faces de cada dado são equiprováveis e estão numeradas com inteiros positivos de 1 até n, sendo n o número de faces do dado. Investigando matematicamente os cinco dados, Marlene propôs o seguinte teorema: No lançamento de um dado qualquer dentre os cinco, a probabilidade de que seja obtido um número que é divisor da quantidade de faces do próprio dado pode variar de x% (no mínimo) até y% (no máximo).

Para que o teorema de Marlene esteja correto, x e y devem corresponder, respectivamente, aos números:

a) 25 e 50

b) 33 e 67

c) 50 e 67

d) 40 e 75

e) 50 e 75

Solução:

Vamos listar os divisores de cada um dos números de faces.

4: {1,2,4}

6: {1,2,3,6}

8: {1,2,4,8}

10: {1,2,5,10}

12: {1,2,3,4,6,12}

Para calcular as probabilidades, basta fazer a divisão entre o número de divisores e o $$N$$.

4: $$3/4 = 75\%$$.

6: $$4/6 = 66,66\%$$.

8: $$4/8 = 50\%$$.

10: $$4/10 = 40\%$$.

12: $$6/12 = 50\%$$.

Daqui, $$x=75\%$$ e $$y=40\%$$.

Resposta: d)


Questão 36

Uma maquete de um reservatório cúbico foi construída em escala linear de 1:200. Se o volume da maquete do reservatório é de 64 cm³, a aresta do reservatório cúbico real, em metros, é igual a:

a) 4

b) 8

c) 16

d) 20

e) 32

Solução:

Sabendo que o volume do cubo é $$V=l^{3}$$, com $$l$$ o comprimento das arestas, calcula-se o valor de $$l$$.

\[64=V=l^{3}\longrightarrow l=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{2^{6}}=2^{6/3}=2^{2}=4cm\].

Fazendo uma regra de três, obtém-se o valor desejado.

1 cm ———– 200 cm (reais)

4 cm ———- $$x$$.

$$x = 800 cm = 8m$$.

Resposta: b)


Questão 38

O desenho indica o projeto de paraquedas feito por Leonardo Da Vinci, e a fotografia retrata um salto real feito com um paraquedas que segue o projeto de Da Vinci, ou seja, com uma copa de tecido em forma de pirâmide reta quadrangular regular com todas as arestas de medida 7 m.

Em situação ideal, o que significa considerar uma pirâmide perfeita inflada em seu exato volume, o volume de ar ocupado pela copa piramidal do paraquedas, em m³, será igual a:

a) $$(144\sqrt{2}/3)$$

b) $$49\sqrt{2}$$

c) $$343\sqrt{2}/6$$

d) $$343\sqrt{2}/4$$

e) $$(260\sqrt{2}/3)$$

Solução:

Observe as figuras, para prosseguir com a solução do exercício.

1) O triângulo ABD faz parte da face da pirâmide em questão. Como esta pirâmide possui todos os lados congruentes, de comprimento 7m, e é regular, as faces da pirâmide são triângulos equiláteros. Deste modo, o segmento BA é altura do face triangular (forma 90º com a base) e divide a base na metade.

Assim, o triângulo ABD é retângulo em A.

AD = (7/2)=3,5 cm ;  DB = 7 ; AB = h = ?

Por Pitágoras, temos: $$7^{2}=h^{2}+(3,5)^{2}\longrightarrow h^{2}=49-12,25 = 36,75$$cm.

 

2) A altura da pirâmide, denotada por $$a$$, é a altura do triângulo ABC. Observe que $$AB=h$$, que acabamos de encontrar. Além disso, AC = 3,5, pois é a metade do lado do quadrado da base.

Novamente, por Pitágoras,

\[36,75=h^{2}=a^{2}+(3,5)^{2}\longrightarrow a^{2}=36,75-12,25=24,5\longrightarrow a=\sqrt{\frac{245}{10}}=\frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\].

 

3) Pela fórmula do volume da pirâmide, $$V=\frac{A_{base}\cdot a}{3}$$:

\[V=\frac{7^{2}\cdot (\frac{7\sqrt{2}}{2})}{3}=\frac{343\sqrt{2}}{6}\]

Resposta: c)