Resolução – PUC – Campinas 2014 – Matemática

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Questão 20

Em um triângulo retângulo, a medida de um dos catetos corresponde a 60% da medida da hipotenusa. Nas condições dadas, o perímetro desse triângulo supera a medida da hipotenusa em

a) 140%.

b) 160%.

c) 180%.

d) 220%.

e) 240%

Solução:

Sejam $$a$$ e $$b$$ os catetos, e seja $$c$$ a hipotenusa.

Diremos que $$a=60\%\cdot c=0,6c$$, ou seja, este é o cateto que corresponde a 60% da hipotenusa.

Por Pitágoras, temos: \[c^{[c^{2}=a^{2}+b^{2}=(0,6c)^{2}+b^{2}=0,36c^{2}+b^{2}\Longrightarrow 0,64c^{2}=c^{2}-0,36c^{2}=b^{2}\Longrightarrow b=\sqrt{0,36}c=0,6c\]>

O perímetro (soma de todos os lados) será: $$p= a+b+c=0,6c+0,6c+c=2,2c=(1+1,2)\cdot c=(1+120\%)c$$.

OBS: A comparação foi feita, utilizando a fórmula do acréscimo percentual, $$V_{final}=V_{inicial}(1+i\%)$$. Com $$V_{final}=p=2,2c$$ e $$V_{inicial}=c$$.

Resposta: d)

Questão 21

O produto das raízes reais da equação polinomial $$(4x^{2}-2)(x^{2}-x+1)(\frac{2x-1}{2})=0$$ é igual a:

a)$$-(\sqrt{2}/2)$$

b) $$-(1/2)$$

c) $$-(2/52)$$

d) $$-(\sqrt{2}/4)$$

e) $$-(1/4)$$

Solução:

Este polinômio é produto de três polinômios distintos, dois de segundo grau, um de primeiro grau. Basta calcular as raízes de cada um, individualmente, e multiplicá-las. Lembre-se: calcular as raízes de uma equação é o mesmo que encontrar quais valores valores de $$x$$ tornam a equação igual a 0.

i) $$4x^{2}-2=0\longrightarrow 4x^{2}=2\longrightarrow x^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\longrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$.

ii) $$x^{2}-x+1=0$$. Por Bhaskara: $$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(1)^{2}-4}}{2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{-3}}{2}$$. Não há solução real para a raiz quadrada, $$\sqrt{-3}$$. Portanto não há solução real para esta equação.

iii) $$\frac{2x-1}{2}=0\longrightarrow 2x-1=0\longrightarrow 2x=1\longrightarrow x=\frac{1}{2}$$.

O produto será $$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{-\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{2}}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$$.

Resposta: e)

Questão 24

Marlene têm um conjunto de cinco dados com forma de poliedros regulares convexos, como se vê na figura. As faces de cada dado são equiprováveis e estão numeradas com inteiros positivos de 1 até n, sendo n o número de faces do dado. Investigando matematicamente os cinco dados, Marlene propôs o seguinte teorema: No lançamento de um dado qualquer dentre os cinco, a probabilidade de que seja obtido um número que é divisor da quantidade de faces do próprio dado pode variar de x% (no mínimo) até y% (no máximo).

Para que o teorema de Marlene esteja correto, x e y devem corresponder, respectivamente, aos números:

a) 25 e 50

b) 33 e 67

c) 50 e 67

d) 40 e 75

e) 50 e 75

Solução:

Vamos listar os divisores de cada um dos números de faces.

4: {1,2,4}

6: {1,2,3,6}

8: {1,2,4,8}

10: {1,2,5,10}

12: {1,2,3,4,6,12}

Para cada dado, cada face representa um número, dentre os quais se encontram os seus divisores. O menor número de divisores está no dado com 4 faces.

Como há 4 faces, ao todo, com a mesma probabilidade de serem retiradas (equiprováveis), então a probabilidade de retiramos um divisor do 4 é o número de divisores dividido pelo número de faces, isto é, $$=\frac{3}{4}=0,75=75\%$$.

O caso com maior número de divisores, o dado de 12 faces, terá probabilidade ,de que estes divisores apareçam num lançamento, de $$\frac{6}{12}=0,5=50\%$$, isto é, o número de divisores dividido pelo número de faces.

Como todos os dados possuem, no mínimo, 3 divisores, então $$x=75$$. O dado com maior quantidade de divisores é o dado de 12 faces, por isso, $$y=50$$.

Resposta: e)

Questão 36

Uma maquete de um reservatório cúbico foi construída em escala linear de 1:200. Se o volume da maquete do reservatório é de 64 cm³, a aresta do reservatório cúbico real, em metros, é igual a:

a) 4

b) 8

c) 16

d) 20

e) 32

Solução:

Sabendo que o volume do cubo é $$V=l^{3}$$, com $$l$$, o comprimento das arestas; temos como calcular o comprimento das arestas da maquete.

\[64=[64=V=l^{3}\longrightarrow l=\sqrt[3]=\sqrt[3]{[3]6}}=2^{6/3}=2^{2}=4cm\].

Utilizando a escala fornecida, calculamos o valor da aresta do objeto real.

1 u———- 200 cm (real)

4 cm (maquete) ———- x

$$x=4\cdot 200\longrightarrow x= 800cm= 8m$$ (real).

Resposta: b)

Questão 38

O desenho indica o projeto de paraquedas feito por Leonardo Da Vinci, e a fotografia retrata um salto real feito com um paraquedas que segue o projeto de Da Vinci, ou seja, com uma copa de tecido em forma de pirâmide reta quadrangular regular com todas as arestas de medida 7 m.

Em situação ideal, o que significa considerar uma pirâmide perfeita inflada em seu exato volume, o volume de ar ocupado pela copa piramidal do paraquedas, em m³, será igual a:

a) $$(144\sqrt{2}/3)$$

b) $$49\sqrt{2}$$

c) $$343\sqrt{2}/6$$

d) $$343\sqrt{2}/4$$

e) $$(260\sqrt{2}/3)$$

Solução:

Observe as figuras, para prosseguir com a solução do exercício.

1) O triângulo ABD faz parte da face da pirâmide em questão. Como esta pirâmide possui todos os lados congruentes, de comprimento 7m, e é regular, então as faces triangulares da pirâmide são triângulos equiláteros. Deste modo, o segmento BD é altura do face triangular (forma 90º com a base) e divide a base na metade.

Assim, o triângulo ABD é retângulo em A.

AD = (7/2)=3,5 cm ;  DB = 7 ; AB = h = ?

Por Pitágoras, temos: $$7^{2}=h^{2}+(3,5)^{2}\longrightarrow h^{2}=49-12,25 = 36,75$$cm.

 

2) A altura da pirâmide, denotada por $$a$$, é a altura do triângulo ABC. Observe que $$AB=h$$, do que acabamos de resolver. Além disso, AC = 3,5, pois é a metade do lado do quadrado da base.

Novamente, por Pitágoras,

\[36,[36,75=h^{2}=a^{2}+(3,5)^{2}\longrightarrow a^{2}=36,75-12,25=24,5\longrightarrow a=\sqrt{\frac{245}{10}}=\frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\]>

 

3) Pela fórmula do volume da pirâmide, $$V=\frac{A_{base}\cdot a}{3}$$, calculamos seu volume.

\[V=\[V=\frac{7^{2}\cdot (\frac{7\sqrt{2}}{2})}{3}=\frac{343\sqrt{2}}{6}\]

Resposta: c)

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