Questão 20
Em um triângulo retângulo, a medida de um dos catetos corresponde a 60% da medida da hipotenusa. Nas condições dadas, o perímetro desse triângulo supera a medida da hipotenusa em
a) 140%.
b) 160%.
c) 180%.
d) 220%.
e) 240%
Solução:
Seja $$a$$ a hipotenusa, e sejam $$b$$ e $$c$$ os catetos. Tome $$b=0,6a$$, isto é, $$b$$ é 60% da hipotenusa.
Por Pitágoras, $$a^{2}=b^{2}+c^{2}=0,6^{2}a^{2}+c^{2}$$. Daqui, $$0,64a^{2}=(1-0,36)a^{2}=c^{2}$$, logo é fato que $$c=0,8\cdot a$$.
O perímetro é $$a+b+c=a+0,6a+0,8a = 2,4a$$. Isto significa que o perímetro supera em 140%
Resposta: a)
Questão 21
O produto das raízes reais da equação polinomial $$(4x^{2}-2)(x^{2}-x+1)(\frac{2x-1}{2})=0$$ é igual a:
a)$$-(\sqrt{2}/2)$$
b) $$-(1/2)$$
c) $$-(2/52)$$
d) $$-(\sqrt{2}/4)$$
e) $$-(1/4)$$
Solução:
Este polinômio é produto de três polinômios distintos, dois de segundo grau, um de primeiro grau. Basta calcular as raízes de cada um, individualmente, e multiplicá-las. Lembre-se: calcular as raízes de uma equação é o mesmo que encontrar quais valores valores de $$x$$ tornam a equação igual a 0.
i) $$4x^{2}-2=0\longrightarrow 4x^{2}=2\longrightarrow x^{2}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\longrightarrow x=\pm\sqrt{\frac{1}{2}}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}$$.
ii) $$x^{2}-x+1=0$$. Por Bhaskara: $$x=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(1)^{2}-4}}{2}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{-3}}{2}$$. Não há solução real para a raiz quadrada, $$\sqrt{-3}$$. Portanto não há solução real para esta equação.
iii) $$\frac{2x-1}{2}=0\longrightarrow 2x-1=0\longrightarrow 2x=1\longrightarrow x=\frac{1}{2}$$.
O produto será $$\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{-\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{-\sqrt{2}\sqrt{2}}{8}=-\frac{2}{8}=-\frac{1}{4}$$.
Resposta: e)
Questão 23
Marlene têm um conjunto de cinco dados com forma de poliedros regulares convexos, como se vê na figura. As faces de cada dado são equiprováveis e estão numeradas com inteiros positivos de 1 até n, sendo n o número de faces do dado. Investigando matematicamente os cinco dados, Marlene propôs o seguinte teorema: No lançamento de um dado qualquer dentre os cinco, a probabilidade de que seja obtido um número que é divisor da quantidade de faces do próprio dado pode variar de x% (no mínimo) até y% (no máximo).
Para que o teorema de Marlene esteja correto, x e y devem corresponder, respectivamente, aos números:
a) 25 e 50
b) 33 e 67
c) 50 e 67
d) 40 e 75
e) 50 e 75
Solução:
Vamos listar os divisores de cada um dos números de faces.
4: {1,2,4}
6: {1,2,3,6}
8: {1,2,4,8}
10: {1,2,5,10}
12: {1,2,3,4,6,12}
Para calcular as probabilidades, basta fazer a divisão entre o número de divisores e o $$N$$.
4: $$3/4 = 75\%$$.
6: $$4/6 = 66,66\%$$.
8: $$4/8 = 50\%$$.
10: $$4/10 = 40\%$$.
12: $$6/12 = 50\%$$.
Daqui, $$x=75\%$$ e $$y=40\%$$.
Resposta: d)
Questão 36
Uma maquete de um reservatório cúbico foi construída em escala linear de 1:200. Se o volume da maquete do reservatório é de 64 cm³, a aresta do reservatório cúbico real, em metros, é igual a:
a) 4
b) 8
c) 16
d) 20
e) 32
Solução:
Sabendo que o volume do cubo é $$V=l^{3}$$, com $$l$$ o comprimento das arestas, calcula-se o valor de $$l$$.
\[64=V=l^{3}\longrightarrow l=\sqrt[3]{64}=\sqrt[3]{2^{6}}=2^{6/3}=2^{2}=4cm\].
Fazendo uma regra de três, obtém-se o valor desejado.
1 cm ———– 200 cm (reais)
4 cm ———- $$x$$.
$$x = 800 cm = 8m$$.
Resposta: b)
Questão 38
O desenho indica o projeto de paraquedas feito por Leonardo Da Vinci, e a fotografia retrata um salto real feito com um paraquedas que segue o projeto de Da Vinci, ou seja, com uma copa de tecido em forma de pirâmide reta quadrangular regular com todas as arestas de medida 7 m.
Em situação ideal, o que significa considerar uma pirâmide perfeita inflada em seu exato volume, o volume de ar ocupado pela copa piramidal do paraquedas, em m³, será igual a:
a) $$(144\sqrt{2}/3)$$
b) $$49\sqrt{2}$$
c) $$343\sqrt{2}/6$$
d) $$343\sqrt{2}/4$$
e) $$(260\sqrt{2}/3)$$
Solução:
Observe as figuras, para prosseguir com a solução do exercício.
1) O triângulo ABD faz parte da face da pirâmide em questão. Como esta pirâmide possui todos os lados congruentes, de comprimento 7m, e é regular, as faces da pirâmide são triângulos equiláteros. Deste modo, o segmento BA é altura do face triangular (forma 90º com a base) e divide a base na metade.
Assim, o triângulo ABD é retângulo em A.
AD = (7/2)=3,5 cm ; DB = 7 ; AB = h = ?
Por Pitágoras, temos: $$7^{2}=h^{2}+(3,5)^{2}\longrightarrow h^{2}=49-12,25 = 36,75$$cm.
2) A altura da pirâmide, denotada por $$a$$, é a altura do triângulo ABC. Observe que $$AB=h$$, que acabamos de encontrar. Além disso, AC = 3,5, pois é a metade do lado do quadrado da base.
Novamente, por Pitágoras,
\[36,75=h^{2}=a^{2}+(3,5)^{2}\longrightarrow a^{2}=36,75-12,25=24,5\longrightarrow a=\sqrt{\frac{245}{10}}=\frac{7\sqrt{5}}{\sqrt{2}\sqrt{5}}=\frac{7}{\sqrt{2}}=\frac{7\sqrt{2}}{2}\].
3) Pela fórmula do volume da pirâmide, $$V=\frac{A_{base}\cdot a}{3}$$:
\[V=\frac{7^{2}\cdot (\frac{7\sqrt{2}}{2})}{3}=\frac{343\sqrt{2}}{6}\]
Resposta: c)
