Resolução – UERJ 2017 (1º Exame de Qualificação) – Matemática

Questão 22

Um comerciante, para aumentar as vendas de seu estabelecimento, fez a seguinte promoção para determinado produto:

COMPRE 4 UNIDADES E LEVE .

Essa promoção representa um desconto de x% na venda de 5 unidades. O valor de x é igual a:

a) 10

b) 15

c) 20

d) 25

Solução:

Seja $$p$$ o preço inicial de cada unidade do produto. O consumidor pagaria, por 5 unidades, um total de $$5p$$. Agora, a mesa quantidade do produto custará apenas $$4p$$, ou seja, ele leva a mesma quantidade do produto, por um preço menor.

Utilizando a fórmula de desconto, da Matemática Financeira, podemos calcular o desconto. Relembre a fórmula: $$V_{final}=V_{inicial}\cdot (1-x)$$, sendo V o preço e x, o índice percentual de desconto.

\[V_{final}=4p=V_{inicial}(1-x\%)=5p(1-x)\Longrightarrow 4p=5p(1-x)\Longrightarrow \frac{4}{5}=1-x\Longrightarrow\]

\[x=1-\frac{4}{5}=\frac{5-4}{5}=\frac{1}{5}=0,2=20\%\]

Resposta: c)


Questão 23

Um fisioterapeuta elaborou o seguinte plano de treinos diários para o condicionamento de um maratonista que se recupera de uma contusão:

• primeiro dia – corrida de 6 km;

• dias subsequentes – acréscimo de 2 km à corrida de cada dia imediatamente anterior. O último dia de treino será aquele em que o atleta correr 42 km.

O total percorrido pelo atleta nesse treinamento, do primeiro ao último dia, em quilômetros, corresponde a:

a) 414

b) 438

c) 456

d) 484

Solução:

O programa de treinamento corresponde à uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 6km e a razão é 2km. O termo geral é dado por $$a_{n}=a_{1}+(n-1)r=6+(n-1)2=2n+4$$. O valor $$n$$ representa o dia do treino, e o $$a_{n}$$ a distância percorrida.

Se o último dia corresponde a 42 Km, então podemos calcular o índice (ordinal) $$n$$ deste dia.

$$42=a_{n}=2n+4\longrightarrow 2n=42-4=38\longrightarrow n=38/2=19$$. Conclui-se, portanto, que foram 19 dias de treinamento.

Somando-se os termos da progressão, teremos a distância total percorrida pelo atleta. A soma virá da fórmula de soma de uma progressão aritmética.

\[S_{n}=n\frac{a_{1}+a_{n}}{2}\longrightarrow S_{19}=19\cdot\frac{6+42}{2}=19\cdot 24=456\;Km\]

Resposta: c)


Questão 24

Para combater a subnutrição infantil, foi desenvolvida uma mistura alimentícia composta por três tipos de suplementos alimentares: I, II e III. Esses suplementos, por sua vez, contêm diferentes concentrações de três nutrientes: A, B e C. Observe as tabelas a seguir, que indicam a concentração de nutrientes nos suplementos e a porcentagem de suplementos na mistura, respectivamente.


A quantidade do nutriente C, em g/kg, encontrada na mistura alimentícia é igual a:

a) 0,235

b) 0,265

c) 0,275

d) 0,295

Solução:

Basta fazer a média ponderada. A quantidade de C em cada mistura será multiplicada pelo percentual que a mistura representa no alimento, depois estes valores são somados.

\[0,1\cdot 45\%+0,4\cdot 25\%+0,5\cdot 30\%=0,1\cdot 0,45 + 0,4\cdot 0,25+0,5\cdot 0,3=0,295\]

Resposta: d)


Questão 25

Um cilindro circular reto possui diâmetro AB de 4 cm e altura AA’ de 10 cm. O plano α, perpendicular à seção meridiana ABB’A’, que passa pelos pontos B e A’ das bases, divide o cilindro em duas partes, conforme ilustra a imagem.

O volume da parte do cilindro compreendida entre o plano α e a base inferior, em cm3 , é igual a:

a) 8π

b) 12π

c) 16π

d) 20π

Solução:

O plano α corta o cilindro exatamente na metade. Isto é fácil de observar, se pensarmos no retângulo AA’BB’ e em A’B, sua diagonal.

Deste modo, basta calcular o volume do cilindro e dividir por 2. $$V_{cil}=\pi r^{2}h$$, onde $$r$$ é o raio da base circular, e $$h$$ é a altura do cilindro. Neste caso, o cilindro tem $$r=\frac{4}{2}=2$$ e $$h=10$$.

\[V_{cil}=\pi\cdot 2^{2}\cdot 10=40\pi\].

A metade deste valor corresponde a 20π.

Resposta: d)


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