Considere a existência de um planeta homogêneo, situado em uma galáxia distante, e as informações sobre seus dois satélites apresentadas na tabela.
Sabe-se que o movimento de X e Y ocorre exclusivamente sob ação da força gravitacional do planeta. Determine a razão $$\frac{V_{X}}{V_{Y}}.
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Solução:
A força gravitacional está fazendo o papel de força centrípeta. Chamando de M, $$m_{X}$$ e $$m_{Y}$$ as massas do planeta, do satélite X e do satélite Y, respectivamente, temos a seguinte igualdade para cada satélite:
- Para X:
$$F_{G} = F_{C} \longrightarrow G\frac{M\cdot m_{X}}{(9R)^{2}} = \frac{m_{X}\cdot V_{X} ^{2}}{R} \longrightarrow \frac{G\cdot M}{81\cdot R^{2}} = \frac{V_{X} ^{2}}{R} \longrightarrow V_{X} ^{2} = \frac{G\cdot M}{81\cdot R}$$
- Para Y:
$$F_{G} = F_{C} \longrightarrow G\frac{M\cdot m_{Y}}{(4R)^{2}} = \frac{m_{Y}\cdot V_{Y} ^{2}}{R} \longrightarrow \frac{G\cdot M}{16\cdot R^{2}} = \frac{V_{Y} ^{2}}{R} \longrightarrow V_{Y} ^{2} = \frac{G\cdot M}{16\cdot R}$$
Então temos:
$$\frac{V_{X} ^{2}}{V_{Y} ^{2}} = \frac{G\cdot M}{81\cdot R}\cdot\frac{16\cdot R}{G\cdot M} \longrightarrow \frac{V_{X}}{V_{Y}} = \frac{4}{9}$$
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