Matemática Unesp

Resolução – UNESP 2017 – Meio do Ano – Matemática – 1ª Fase (continuação)

Questão 87

Um cone circular reto, de vértice V e raio da base igual a 6 cm, encontra-se apoiado em uma superfície plana e horizontal sobre uma geratriz. O cone gira sob seu eixo de revolução que passa por V, deslocando-se sobre a superfície plana horizontal, sem escorregar, conforme mostra a figura.

O cone retorna à posição inicial após o círculo da sua base ter efetuado duas voltas completas de giro. Considerando que o volume de um cone é calculado pela fórmula $$(1/3)\cdot\pi r^{2}h$$, volume do cone da figura, em cm³, é igual a

Solução:


Questão 88

Uma função quadrática f é dada por $$f(x) = x^{2}+ bx + c$$, com $$b$$ e $$c$$ reais. Se $$f(1) = –1$$ e $$f(2) – f(3) = 1$$, o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a

a) –12.
b) –6.
c) –10.
d) –5.
e) –9.

Solução:

Das informações do enunciado, calculamos $$b$$ e $$c$$.

$$-1=f(1)=1+b+c\longrightarrow b+c=-2$$.

$$1=f(2)-f(3)=(4+2b+c)-(9+3b+c)=-5-b\longrightarrow b =-6$$. Substituindo este valor na equação anterior, obtém-se $$c=4$$.

A equação completa é $$f(x)=x^{2}-6b+4$$.

Por fim, calculamos o ponto de mínimo da função, isto é, o $$y$$ do vértice.

\[\frac{-\Delta}{4a}=-\frac{36-4\cdot 1\cdot 4}{4}=-\frac{20}{4}=-5\].

Resposta: d)


Questão 89

Admita que o número de visitas diárias a um site seja expresso pela potência $$4^{n}$$, com n sendo o índice de visitas ao site. Se o site S possui o dobro do número de visitas diárias do que um site que tem índice de visitas igual a 6, o índice de visitas ao site S é igual a

a) 12.
b) 9.
c) 8,5.
d) 8.
e) 6,5.

Solução:

Observe que o site S tem um total de visitas equivalente a $$2\cdot 4^{6}$$. Para calcularmos seu índice, basta resolvermos a equação exponencial $$4^{n}=2\cdot 4^{6}$$.

\[2\cdot 4^{6}=2\cdot (2^{2})^{6}=2^{13}=(2^{2})^{6,5}=4^{6,5}\].

Deste modo, notamos que $$n=6,5$$.

Resposta: e)


Questão 90

Uma criança possui 6 blocos de encaixe, sendo 2 amarelos, 2 vermelhos, 1 verde e 1 azul.

Usando essas peças, é possível fazer diferentes pilhas de três blocos. A seguir, são exemplificadas quatro das pilhas possíveis.

Utilizando os blocos que possui, o total de pilhas diferentes de três blocos, incluindo as exemplificadas, que a criança pode fazer é igual a

a) 58.
b) 20.
c) 42.
d) 36.
e) 72.

Solução:

Não há fórmula para o problema; devemos analisar cada um dos casos, separadamente.

(2 amarelos , 1 verde) = $$3!/2! = 3$$.

(2 amarelos , 1 azul) = $$3!/2! = 3$$.

(2 vermelhos , 1 verde) = $$3!/2! = 3$$.

(2 vermelhos , 1 azul) = $$3!/2! = 3$$.

Agora, calculamos o número de possibilidades para pilhas com blocos de 3 cores. Apesar de haver dois vermelhos e dois amarelos, apenas uma vez é contada a pilha, devido à indistinção entre dois blocos da mesma cor. Isto é o mesmo que o arranjo entre as 4 cores distintas, tomadas 3 a 3.

$$A_{4,3}=\frac{4!}{(4-3)!}=4!=24$$.

 

Nesta última parte, calculamos o número de blocos com apenas as cores amarelo e vermelho.

(2 vermelhos, 1 amarelo) = $$3!/2!=3$$.

(2 amarelos, 1 vermelho) = $$3!/2!=3$$.

 

Finalmente, somamos todas as possibilidades, uma vez que são conjuntos disjuntos, e obtemos $$4\cdot 3 + 24 + 2\cdot 3 = 42$$.

Resposta: c)

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