Resolução – UNICAMP 2016 (1ª Fase) – Matemática (continuação)

[kc_row][kc_column width=”12/12"][k[kc_button text_title=”Questões Anteriores” border_radius=”10px” bg_color=”#393939" bg_color_hover=”#FFFFFF” text_color=”#FFFFFF” text_color_hover=”#393939" link=”http://educacionalplenus.com.br/resolucao-unicamp-2016-1a-fase-matematica/||” size=”large” custom_style=”yes” show_icon=”yes” icon=”sl-arrow-left-circle” icon_position=”left”]kc_c[/kc_column][/kc_row][kc_row full_width=”stretch_row” video_bg_url=”https://www.youtube.com/watch?v=dOWFVKb2JqM” parallax_speed=”1" parallax_background_size=”yes”]lu[kc_column width=”12/12"]mn[kc_column_text]id="toc_container" class="toc_transparent no_bullets">

Índice

Questão

Seja (a,b,c) uma progressão geométrica de números reais com a ≠ 0 . Definindo $$s=a+b+c$$ , o menor valor possível para $$\frac{s}{a}$$ é igual a

a) 1/2.

b) 2/3.

c) 3/4.

d) 4/5.

Solução:

Por ser progressão geométrica, teremos a seguinte sucessão: $$a$$ , $$aq$$ , $$aq^{2}$$, com $$q$$ a razão desta progressão geométrica. Donde $$s=a+aq+aq^{2}$$, fazendo com que $$\frac{s}{a}=\frac{a+aq+aq^{2}}{a}=1+q+q^{2}$$.

Esta expressão é uma equação do segundo grau e para encontrar o valor mínimo desta função, precisamos achar o vértice desta equação, em particular, o $$y_{v}=\frac{-\Delta}{4a}$$.

\[y_{v}=-\f[y_{v}=-\frac{1^{2}-4\cdot 1\cdot 1}{4\cdot 1}=\frac{3}{4}\]span style="text-decoration: underline;">Resposta: c)

Questão

Considere o sistema linear nas variáveis reais $$x$$,$$y$$,$$z$$ e $$w$$.

$$\left\{\begin{matrix}
x-y=1\\
y+z=2\\
w-z=3

\end{matrix}\right.$$

Logo, a soma $$x+y+z+w$$ é igual a

a) -2.

b) 0.

c) 6.

d) 8.

Solução:

Multiplique a segunda equação por $$2$$ e obtemos $$2y+2z=4$$. Agora, some este resultado às duas equações restantes.

\[\begin{al[\begin{align*}
x-y &=1 \\
\textbf{+}\: 2y+2z &=4 \\
\textbf{+}\: w-z &= 3 \\
————–&–\\
\textbf{=}\: x-y+2y+2z+w-z&=8\\
\textbf{=}\: \mathbf{x+y+z+w}&\mathbf{=8}
\end{align*}\]pan style="text-decoration: underline;">Resposta: d)

Questão

Considere a matriz quadrada de ordem 3, $$A=\begin{bmatrix}
cos(x) & 0 &-sen(x) \\
0 & 1 &0 \\
sen(x) & 0 &cos(x)
\end{bmatrix}$$, onde x é um número real.

Podemos afirmar que

a) A não é invertível para nenhum valor de x .

b) A é invertível para um único valor de x .

c) A é invertível para exatamente dois valores de x .

d) A é invertível para todos os valores de x .

Solução:

Calculemos o determinante desta matriz, por meio da fórmula de cofatores (Laplace). Observa-se que, por terem entradas 0, o determinante se reduz à equação $$det(A)=(-1)^{2+2}\cdot a_{2\;2}\cdot \begin{vmatrix}
cos(x) &-sen(x) \\
sen(x) &cos(x)
\end{vmatrix} = a_{2\;2}(cos^{2}(x)+sen^{2}(x))=1\cdot 1=1$$. Lembre-se de que $$cos^{2}(x)+sen^{2}(x)=1$$.

Por isso, $$det(A)=1$$, seja qual for o valor de $$x$$. Como este determinante é diferente de 0 e não depende do $$x$$, a matriz será invertível para qualquer valor de $$x$$.

Resposta: d)

Questão

Considere o círculo de equação cartesiana $$x^{2}+y^{2}=ax+by$$, onde a e b são números reais não nulos. O número de pontos em que esse círculo intercepta os eixos coordenados é igual a

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

Solução:

Quando $$x=0$$ (intersecção com o eixo das abscissas), os pontos possíveis são $$(0,y)$$. Substituindo na equação, obtém-se $$0^{2}+y^{2}=0x+by\Longrightarrow y^{2}-by=0\Longrightarrow y(y-b)=0$$. Daqui, se tem apenas duas opções: $$y=0$$ ou $$y=b$$, ou seja, temos os pontos $$(0,0)$$ ou $$(0,b)$$

Quando $$y=0$$ (intersecção com o eixo das ordenadas), os pontos possíveis são $$(x,0)$$. Substituindo na equação, obtém-se $$x^{2}+0^{2}=ax+0y\Longrightarrow x^{2}-ax=0\Longrightarrow x(x-a)=0$$. Daqui, se tem apenas duas opções: $$x=0$$ ou $$x=a$$, ou seja, temos os pontos $$(0,0)$$ ou $$(a,0)$$.

Há três possibilidades: $$(0,0)$$, $$(a,0)$$ e $$(0,b)$$.

Resposta: c)

 

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