Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2017 – 1ª Fase – Matemática

Questão

Sabe-se que, em um grupo de 10 pessoas, o livro A foi lido por 5 pessoas e o livro B foi lido por 4 pessoas. Podemos afirmar corretamente que, nesse grupo,

a) pelo menos uma pessoa leu os dois livros.

b) nenhuma pessoa leu os dois livros.

c) pelo menos uma pessoa não leu nenhum dos dois livros.

d) todas as pessoas leram pelo menos um dos dois livros.

Solução:

No pior caso (o menor número de leitores), teríamos 5 pessoas que leram um livro e quatro delas que leram dois. As outras 5 pessoas não leram qualquer livro.

No melhor caso (o maior número de leitores), teríamos 5 leitores para um livro, e quatro para o outro livro. Neste caso, das 10 pessoas, apenas uma não leria nenhum dos livros.

Resposta: c)


Questão

Um dado não tendencioso de seis faces será lançado duas vezes. A probabilidade de que o maior valor obtido nos lançamentos seja menor do que 3 é igual a

a) 1/3.

b) 1/5.

c) 1/7.

d) 1/9

Solução:

As duplas possíveis são da forma {(1,1),(1,2),…,(2,1),(2,2),…(6,6)}, em que o par ordenado representa as faces possíveis no lançamento duplo do dado. O número de pares ordenados é $$6\cdot 6 = 36$$.

Obedecendo o requisito de que a maior face seja menor que 3, teríamos apenas as faces (1,1) , (2,2) , (1,2) e (2,1). Uma face do tipo (1,5), por exemplo, não seria possível, uma vez que 3<5.

Portanto a probabilidade de que este evento ocorra é o número de casos possíveis dividido pelos casos totais, ou seja, $$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$$.

Resposta: d)


Questão

Seja 𝑓(𝑥) uma função tal que para todo número real 𝑥 temos que 𝑥𝑓(𝑥 − 1) = (𝑥 − 3)𝑓(𝑥) + 3. Então, 𝑓(1) é igual a

a) 0.

b) 1.

c) 2.

d) 3.

Solução:

Inicialmente, tomemos $$x=2$$, então, substituindo na expressão do enunciado, temos

\[2\cdot f(2-1)=(2-3)f(2)+3\longrightarrow 2f(1)=-f(2)+3\].

Agora, pondo $$x=3$$, temos

\[3\cdot f(3-1)=(3-3)f(3)+3\longrightarrow 3f(2)=3\longrightarrow f(2)=1\].

Substituindo este valor na equação inicial, temos

\[2f(1)=-1+3=2\longrightarrow f(1)=1\].

Resposta: b)


Questão

Considere as funções $$f(x)=3^{x}$$ e 𝑔(𝑥) = 𝑥³ , definidas para todo número real 𝑥. O número de soluções da equação 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑓(𝑥)) é igual a

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

Solução:

Escrevemos

\[f(g(x))=3^{x^{3}}=g(f(x))=(3^{x})^{3}=3^{x^{3}}=3^{3x}\Longrightarrow \frac{ 3^{x^{3}} }{3^{3x}}=1=3^{0}\Longrightarrow x^{3}-3x=0\]

\[=x(x^{2}-3)=0\]

Esta última equação tem 3 soluções reais, com uma delas igual a$$0$$ e as outras duas $$\pm\sqrt{3}$$.

Resposta: c)


 

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