Matemática Unicamp

Resolução – UNICAMP 2018 (1ª Fase) – Matemática (continuação 3)

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Questão

Considere que o quadrado 𝐴BCD, representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 1 𝑐m, e que 𝐶 é o ponto médio do segmento 𝐴E. Consequentemente, a distância entre os pontos 𝐷 e 𝐸 será igual a

a) √3 𝑐m.
b) 2 𝑐m.
c) √5 𝑐m.
d) √6 𝑐m.

Solução:


Questão

Seja 𝑥 um número real tal que sen 𝑥 + cos 𝑥 = 0,2. Logo, | sen 𝑥 − cos 𝑥| é igual a

a) 0,5.
b) 0,8.
c) 1,1.
d) 1,4.

Solução:

Note que $$sen(x)=0,2-cos(x)$$ e $$sen^{2}(x)=1-cos^{2}(x)$$, portanto:

\[(0,2-c0s(x))^{2}=1-cos^{2}(x)\Longrightarrow 2cos^{2}(x)-0,4cos(x)-0,96=0\].

Esta última igualdade pode ser reescrita na variável $$t=cos(x)$$, como segue:

\[2t^{2}-0,4t-0,96=0\].

Resolvendo por Bhaskara, os resultados possíveis serão $$t=0,8$$ ou $$t=-0,6$$.

Agora, a partir de $$sen(x)=0,2-cos(x)$$ reescrevemos a expressão requerida: $$|sen(x)-cos(x)|=2|0,1-cos^{2}(x)|$$.

Por fim, substituímos os dois valores, separadamente, para calcularmos a expressão.

1) $$2|0,1-0,8|=2|-0,7|=1,4$$.

2) $$2|0,1-(-0,6)|=2|0,7|=1,4$$.

Resposta: d)


Questão

Sejam 𝑎 e 𝑏 números reais tais que a matriz $$A=\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1 \end{array}\right]$$ satisfaz a equação 𝐴² = 𝑎A + 𝑏I, em que 𝐼 é a matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto 𝑎𝑏 é igual a

a) −2.
b) −1.
c) 1.
d) 2.

Solução:

Primeiro, fazemos o cálculo de A², que resulta em \[A^{2}=\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1 \end{array}\right]\cdot\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}1&4\\0&1 \end{array}\right]\].

Por outro lado, temos $$A^{2}=a\left[\begin{array}{cc}1&2\\0&1 \end{array}\right]+b\left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1 \end{array}\right]$$.

A igualdade é exibida a seguir:

\[\left[\begin{array}{cc}1&4\\0&1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a&2a\\0&a \end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}b&0\\0&b \end{array}\right]\]

Daqui, temos $$4=2a\longrightarrow a = 2$$ e $$a+b=1\longrightarrow 2+b=1\longrightarrow b = -1$$.

O resultado será $$ab = 2\cdot(-1)=-2$$.

Resposta: a)


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