Álgebra
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Álgebra de Grupos – Permutações (exercício 1)

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Dado um ciclo $$\sigma = (j_{1}….j_{t})\in S_{n}$$, prove que $$\sigma=\Pi_{i=0}^{t-2}(j_{1} j_{t-i})$$.

Demonstração:

Para $$t=3$$: pode-se escrever $$(j_{1} j_{2} j_{3})=(j_{1} j_{3})(j_{1} j_{2})$$. De fato, o produto $$(j_{1} j_{3})(j_{1} j_{2})$$ faz com que $$j_{1}\mapsto j_{2}\mapsto j_{2}$$; $$j_{2}\mapsto j_{1}\mapsto j_{3}$$ e $$j_{3}\mapsto j_{3}\mapsto j_{1}$$.

Assumindo a hipótese de indução, $$(j_{1}….j_{t})=\Pi_{i=0}^{t-2}(j_{1} j_{t-i})$$, prova-se a mesma fórmula para $$t+1$$.

Com efeito, o produto de permutações $$(j_{1} j_{t+1})(j_{1}…j_{t})$$ produz as seguintes relações: $$j_{1}\mapsto j_{2},…,j_{t – 1}\mapsto j_{t}$$, $$j_{t}\mapsto j_{1}\mapsto j_{t+1}$$ e $$j_{t+1}\mapsto j_{t+1}\mapsto j_{1}$$. Isto significa que

\[(j_{1} j_{t+1})(j_{1}…j_{t}) = (j_{1}…j_{t+1}).\]

Pela hipótese de indução e pela igualdade demonstrada acima, temos

\[(j_{1} j_{t+1})(j_{1}…j_{t}) = (j_{1} j_{t+1})(j_{1}…j_{t}) = (j_{1} j_{t+1})\Pi_{i=0}^{t-2}(j_{1} j_{t-i})=\Pi _{i=0}^{t-1}(j_{1} j_{t+1-i}) \]

Tags: Grupo Permutação, Grupos

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