a) Apresente todos os intervalos do domínio da função 𝑓 nos quais ela é crescente.

b) Determine os valores de 𝑓 nos pontos 𝑥=−3/2, x=7/2 e 𝑥=8.

c) Para cada valor de 𝑥 ∈ ]0 , 9[ , considere o retângulo 𝑅 com vértices nos pontos 𝐴 = (𝑥 , 0),𝐵 = (9 , 0), 𝐶 = (9 , 𝑓(𝑥)) e 𝐷 = (𝑥 , 𝑓(𝑥)). Escreva a expressão da área de 𝑅, em função de 𝑥, para 𝑥 no intervalo ]0 , 9[.

a) Entre [0,9] (crescente). Em [0,2] ou [5,9] é estritamente crescente.
b) 9/4 ; 4 ; 11/2.
c) A(x) = (9-x)f(x); f(x) = x² ; f(x) = 4 e f(x) = (x+3)/2.
Solução (no vídeo abaixo):

O post Uma função 𝑓 está definida no intervalo [−2 , 9] apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Qual seria a relação entre α e β se ambos os planetas tivessem a mesma densidade?
Imagine que você participe da equipe encarregada de projetar o robô C-1PO, que será enviado em uma missão não tripulada a esse planeta. Características do desempenho do robô, quando estiver no planeta, podem ser avaliadas a partir de dados relativos entre o planeta e a Terra. Nas condições do item a), obtenha, em função de β,
b) a razão $$r_{g} = \frac{g_{P}}{g_{T}}$$ entre o valor da aceleração da gravidade, $$g_{P}$$, que será sentida por C-1PO na superfície do planeta e o valor da aceleração da gravidade, $$g_{T}$$, na superfície da Terra;
c) a razão $$r_{t} = \frac{t_{P}}{t_{T}}$$ entre o intervalo de tempo, $$t_{P}$$, necessário para que C-1PO dê um passo no planeta e o intervalo de tempo, $$t_{T}$$, do passo que ele dá aqui na Terra (considere que cada perna do robô, de comprimento L, faça um movimento como o de um pêndulo simples de mesmo comprimento);
d) a razão $$r_{v} = \frac{v_{P}}{v_{T}}$$ entre os módulos das velocidades do robô no planeta, $$v_{P}$$, e na Terra, $$v_{T}$$.

Note e adote:
A Terra e o planeta são esféricos.
O módulo da força gravitacional F entre dois corpos de massas $$M_{1}$$ e $$M_{2}$$, separados por uma distância r, é dado por $$F = G\frac{M_{1} M_{2}}{r^{2}}$$, em que G é a constante de gravitação universal.
O período de um pêndulo simples de comprimento L é dado por $$T = 2\pi (L/g)^{1/2}$$, em que g é a aceleração local da gravidade.
Os passos do robô têm o mesmo tamanho na Terra e no planeta.

Solução:

a) Aqui temos que a densidade da Terra é igual a densidade do planeta descoberto:

\[d_{T} = d_{P} \longrightarrow \frac{M_{T}}{V_{T}} = \frac{M_{P}}{V_{P}} \longrightarrow \frac{3 M_{T}}{4\pi R_{T} ^{3}} = \frac{3 M_{P}}{4\pi R_{P} ^{3}} \longrightarrow M_{P} R_{T} ^{3} = M_{T} R_{P} ^{3} \longrightarrow \alpha M_{T} R_{T} ^{3} = M_{T} (\beta R_{T})^{3} \longrightarrow \alpha R_{T} ^{3} = \beta ^{3} R_{T} ^{3} \longrightarrow \alpha = \beta ^{3}\]

b) A gravidade de um planeta pode ser calculada da seguinte forma: $$g = \frac{GM}{R^{2}}$$. Podemos agora calcular a razão $$r_{g}$$:

\[r_{g} = \frac{g_{P}}{g_{T}} \longrightarrow r_{g} = \frac{G M_{P}}{R_{P} ^{2}}\cdot \frac{R_{T} ^{2}}{G M_{T}} \longrightarrow r_{g} = \frac{\alpha M_{T}}{\beta ^{2} R_{T} ^{2}}\cdot \frac{R_{T} ^{2}}{M_{T}} \longrightarrow r_{g} = \frac{\alpha}{\beta ^{2}} \longrightarrow r_{g} = \frac{\beta ^{3}}{\beta ^{2}} \longrightarrow r_{g} = \beta\]

c) Como vemos no note e adote, podemos calcular o período da perna do robô da seguinte forma: $$T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$$. Podemos substituir na razão:

\[r_{t} = \frac{t_{P}}{t_{T}} \longrightarrow r_{t} = \frac{2\pi\sqrt{L}}{\sqrt{g_{P}}}\cdot \frac{\sqrt{g_{T}}}{2\pi\sqrt{L}} \longrightarrow r_{t} = \sqrt{\frac{g_{T}}{g_{P}}} \longrightarrow r_{t} = \sqrt{\frac{1}{\beta}}\]

d) Podemos calcular a velocidade assim: $$v = \frac{L}{T}$$. Portanto podemos substituir na razão $$r_{v}$$.

\[r_{v} = \frac{v_{P}}{v_{T}} \longrightarrow r_{v} = \frac{L}{t_{P}}\cdot \frac{t_{T}}{L} \longrightarrow r_{v} = \frac{t_{T}}{t_{P}} \longrightarrow r_{v} = \sqrt{\beta}\]

O post FUVEST 2017 (3º Dia – 2ª Fase) – Q. 03 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Determine a energia total, E, fornecida pelo aquecedor desde $$T_{i} = -134^{\circ} C$$ até $$T_{f} = 114^{\circ} C$$.
b) Identifique, para esse material, qual dos processos (I, II, III, IV ou V) corresponde à mudança do estado sólido para o estado líquido.
c) Sabendo que a quantidade de energia fornecida pelo aquecedor durante a vaporização é $$1,2\cdot 10^{6}\, J$$, determine a massa, M, do material.
d) Determine o calor específico a pressão constante, $$c_{p}$$, desse material no estado líquido.

Note e adote:
Calor latente de vaporização do material = 800 J/g.
Desconsidere as capacidades térmicas do cilindro e do pistão.

Confira nossa lista de Exercícios de Calor Latente

Solução:

a) Energia pode ser calculada da seguinte forma: $$E = P_{ot}\cdot \Delta t$$ O tempo total em que o aquecedor fornece energia é 760 s. Portanto

$$E = 3000\cdot 760 \longrightarrow 2,28\cdot 10^{6}\, J$$.

b) Sabemos que o material está no estado sólido. O gráfico mostra dois patamares, que são mudanças de estado. Portanto o primeiro patamar mostra a mudança de estado de sólido para líquido, ou seja, processo II.

c) O processo IV é o que representa a vaporização. Neste caso nós temos

$$Q = m\cdot L \longrightarrow 1,2\cdot 10^{6} = m\cdot 800 \longrightarrow m = 1500\, g\,\, ou\,\, m = 1,5\, kg$$.

d) Aqui podemos dizer que

$$Q_{III} = P_{ot}\cdot \Delta t_{III} \longrightarrow Q_{III} = 3000\cdot 250 \longrightarrow Q_{III} = 7,5\cdot 10^{5}\, J$$.

Agora podemos descobrir o calor específico:

$$Q = m\cdot c_{p}\cdot\Delta T \longrightarrow 7,5\cdot 10^{5} = 1,5\cdot c_{p}\cdot 200 \longrightarrow c_{p} = 2,5\cdot 10^{3}\, \frac{J}{kg^{\circ} C}$$.

O post FUVEST 2017 (3º Dia – 2ª Fase) – Q. 02 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Se o volume da gota do líquido for $$0,0045\, cm^{3}$$, qual será a espessura E da camada do líquido sobre a água?

b) Um feixe de luz propaga-se no ar, incide perpendicularmente na superfície do líquido e sofre reflexão nas superfícies do líquido e da água. Quando a espessura E da camada do líquido for igual a $$\frac{\lambda}{2n}$$, sendo λ o comprimento de onda da luz incidente, ocorre interferência destrutiva entre a luz refletida no líquido e a luz refletida na água. Determine o valor de λ para essa condição.

c) Determine o volume da gota do líquido que deveria ser depositada sobre a água para que não se observe luz refletida quando luz verde de um laser, com frequência $$0,6\cdot 10^{15}\, Hz$$, incidir perpendicularmente na superfície do líquido.

Note e adote:
O líquido não se mistura com a água.
O recipiente é um cilindro circular reto.
Velocidade da luz $$c = 3\cdot 10^{8}\, m/s$$.
π ≈ 3.

Solução:

a) Temos o volume do cilindro $$V_{c} = \pi r^{2} h$$, temos o raio r = 10 cm e temos o volume $$V = 0,0045\, cm^{3}$$, portanto podemos encontrar a altura.

\[V_{c} = \pi r^{2} E \longrightarrow 0,0045 = 3\cdot 10^{2} E \longrightarrow E = 1,5\cdot 10^{-5}\, cm\]

b) Temos E e n, basta substituir na equação dada pelo enunciado.

\[E = \frac{\lambda}{2n} \longrightarrow 1,5\cdot 10^{-5} = \frac{\lambda}{2\cdot 2,5} \longrightarrow \lambda = 7,5\cdot 10^{-5}\, cm\]

c) O comprimento da onda de luz verde será

\[c = \lambda _{v}\cdot f \longrightarrow 3\cdot 10^{8} = \lambda _{v}\cdot 10^{15} \longrightarrow \lambda _{v} = 5\cdot 10^{-5}\, cm\]

Com isso podemos encontrar a espessura para que não se observe luz refletida.

\[E = \frac{\lambda}{2n} \longrightarrow E = \frac{5\cdot 10^{-5}}{2\cdot 2,5} \longrightarrow E = 1\cdot 10^{-5}\, cm\]

Agora basta encontrar o volume de líquido necessário para essa espessura.

\[V = \pi r^{2} E \longrightarrow V = 3\cdot 10^{2}\cdot 1\cdot 10^{-5} \longrightarrow V = 0,003\, cm^{3}\]

O post FUVEST (2017) – Física (3º Dia – 2ª Fase) – F. 05 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Determine a resistência elétrica de uma dessas conexões, sabendo que a resistência, em ohms, de uma trilha de alumínio é dada por $$R = 3\cdot 10^{-8} L/A$$, em que L e A são, respectivamente, o comprimento e a área da seção reta da trilha em unidades do SI.

b) Se a corrente elétrica em uma trilha for de 10 μA, qual é a potência dissipada nessa conexão?

c) Considere que um determinado CI possua $$10^{6}$$ dessas conexões elétricas. Determine a energia E dissipada no CI em 5 segundos de operação.

d) Se não houvesse um mecanismo de remoção de calor, qual seria o intervalo de tempo Δt necessário para a temperatura do CI variar de 300°C?

Note e adote:
1nm = $$10^{-9}$$ m
Capacidade térmica do CI = $$5\cdot 10^{-5}$$ J/K
Considere que as trilhas são as únicas fontes de calor no CI.

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Circuitos e Leis de Ohm
Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Potência Elétrica
Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Calor Específico

Solução:

a) Aqui só precisamos utilizar a equação dada, lembrando de transformar nanometros para metros.

\[R = 3\cdot 10^{-8}\cdot\frac{L}{A} \longrightarrow R = 3\cdot 10^{-8}\cdot\frac{500\cdot 10^{-9}}{100\cdot 10^{-9}\cdot 50\cdot 10^{-9}} \longrightarrow R = 3\,\Omega\]

b) A potência de um circuito é dada por $$P = R\cdot i^{2}$$. Como valor do item a e o valor dado no enunciado deste item, podemos calcular a potência dissipada em uma trilha.

\[P = R\cdot i^{2} \longrightarrow P = 3\cdot (10\cdot 10^{-3})^{2} \longrightarrow P = 3\cdot 10^{-10}\, W\]

c) A energia dissipada em uma trilha é

\[P_{0} = \frac{E_{0}}{\Delta t} \longrightarrow 3\cdot 10^{-10} = \frac{E_{0}}{5} \longrightarrow E_{0} = 15\cdot 10^{-10}\, J\]

Com isso e com o número de conexões, podemos calcular a energia total dissipada no CI.

\[E = n\cdot E_{0} \longrightarrow E = 10^{6}\cdot 15\cdot 10^{-10} \longrightarrow E = 1,5\cdot 10^{-3}\, J\]

d) Aqui vamos utilizar a equação do calor, lembrando que variação de temperatura em celsius é a mesma que em kelvin, portanto Δθ = 300°C = 300K.

\[Q = C\cdot \Delta\theta \longrightarrow Q = 5\cdot 10^{-5}\cdot 300 \longrightarrow Q = 0,015\, J\]

Com isso e a potência total dissipada no CI podemos calcular o tempo que demora para atingir 300°C de variação de temperatura.

\[P = \frac{E}{\Delta t} \longrightarrow 3\cdot 10^{-10}\cdot 10^{6} = \frac{0,015}{\Delta t} \Delta t = 50\, s\]

O post FUVEST (2016) – 3º Dia – 2ª Fase – F. 06 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Na folha de respostas, faça um diagrama de corpo livre da esfera 1, indicando todas as forças que atuam sobre ela.

b) Determine a razão $$q^{2} /m$$ em termos do comprimento 𝐿 dos fios, da aceleração da gravidade 𝑔 e da constante eletrostática do vácuo 𝑘.

c) Considere que as mesmas esferas são desconectadas dos fios e conectadas às extremidades de uma mola de constante elástica igual a 50 N/m. O conjunto é deixado sobre uma superfície isolante e sem atrito, atingindo o equilíbrio quando a força elétrica entre elas é de 0,1 N. Nessas condições, qual será o valor da energia armazenada na mola?

Solução:

O post Fuvest 2022 – 2ª Fase – F.05 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) No instante t = 0,2 s, a força resultante que atua sobre a bola tem sentido para cima, sentido para baixo ou tem intensidade nula? Justifique sua resposta.

b) Calcule a energia cinética perdida pela bola entre os instantes imediatamente antes e imediatamente depois do choque com o solo.

c) Calcule o módulo da força média de resistência do ar atuando sobre a bola entre o instante inicial e o instante imediatamente antes de ela atingir o solo pela primeira vez.

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Energia

Solução:

https://youtu.be/qFFAHMTVyWc

O post Fuvest 2022 – 2ª Fase – F.04 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Qual tipo de laser emite fótons com maior energia: o de luz vermelha ou o de luz azul? Justifique sua resposta.

b) Determine a frequência (em Hz) de um fóton com comprimento de onda na região de cor laranja mostrada na figura.

c) Determine o comprimento de onda de um fóton (em nm) considerando um laser cujas energias $$E_{2}$$ e $$E_{1}$$ correspondem aproximadamente a 20,2 eV e 18,7 eV, respectivamente.

Solução:

O post Fuvest 2022 – 2ª Fase – F.03 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Se as ondas do mar forem ondas perfeitamente harmônicas com velocidade de 3 m/s e a distância entre as cristas for de 5 m, calcule o período de rotação do dínamo.

b) Se a amplitude das ondas do mar é h, calcule a distância horizontal máxima d percorrida pelo pistão 2.

Considere agora uma situação em que o gerador é desativado, travando-se o pistão 2, de modo que ele não possa se mover.

c) Calcule a pressão máxima na câmara considerando que a temperatura do gás em seu interior não varie. Expresse sua resposta em termos da pressão inicial na câmara $$P_{0}$$, e de L e h.

Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos de Ondulatória

Solução:

O post Fuvest 2022 – 2ª Fase – F.02 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) Para $$𝑡_{1} = 22$$, determine $$𝑡_{4}$$.
b) Determine todos os possíveis $$𝑡_{1}$$ para os quais $$𝑡_{4} = 10$$.
c) Para $$𝑡_{1} = 26$$, determine $$𝑡_{2022}$$.

Solução:

O post FUVEST 2022 – M1 – Segunda Fase apareceu primeiro em Educacional Plenus.