Solução:

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Solução:
Podemos reescrever a fração deste modo: $$\frac{n²+2}{2n³+n-1}=\frac{n²}{n³}\cdot\frac{\frac{1}{n}+\frac{2}{n³}}{2+\frac{1}{n²}-\frac{1}{n³}}$$.

Sabemos que $$lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 0,  lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}+\frac{2}{n³} = 0$$ e $$lim_{n\to\infty}2+\frac{1}{n²}-\frac{1}{n³} = 2$$, então podemos aplicar a regra operacional do produto e concluir que

\[lim_{n\to\infty}\frac{n²+2}{2n³+n-1} = 0\cdot \frac{0}{2} = 0.\]

O post Limite de Sequências – Exercício 7 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

• $$a_{n}=\frac{n+1}{2n-1}$$. Solução
• $$a_{n}=\frac{n²+1}{n}$$. Solução
• $$a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$$. Solução

Mostre a convergência das sequências a seguir.

• $$a_{n}=\frac{n}{3^{n+1}}$$. Solução

Mostre a convergência da séries a seguir. Em caso positivo, calcule seu limite.

• $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$$. Solução
• $$\sum_{n=1}^{\infty}ln[\frac{n}{n+1}]$$. Solução

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Solução:
A sequência é divergente. Podemos provar ao usarmos uma das regras operacionais de limites. Para isso, vamos fatorar a fração do seguinte modo: $$\frac{n²+1}{n} = \frac{n²}{n}\cdot\frac{1 + \frac{1}{n²}}{1} = n\cdot  (1+\frac{1}{n²})$$.

Como $$lim_{n\to\infty} n = \infty$$ e $$lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n²}) = 1$$, concluímos que $$lim_{n\to\infty}n\cdot (1+\frac{1}{n²}) = \infty$$.

O post Limite de Sequências – Exercício 6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:
Observe que a sequência é $$2-1 ; 2+\frac{1}{2} ; 2 – \frac{1}{3},…$$.
Apesar de sua alternância, a sequência é convergente, pois as subsequências de números pares e ímpares tendem a 0.:

$$2+\frac{1}{2n}\longrightarrow 2$$ e $$2 – \frac{1}{2n-1}\longrightarrow 2$$.

Provaremos que o limite é igual a 2 pela definição:

dado ε>0, podemos escolher $$n_{0}>\frac{1}{\epsilon}$$, de modo que, se $$n>n_{0}$$, teremos

$$|a_{n}-2| = |\frac{(-1)^{n}}{n}+2-2| = $$

$$|\frac{(-1)^{n}}{n}|=\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}<\epsilon$$.

O post Limite de Sequências – Exercício 5 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Vamos dividir o numerador e o denominador por $$n²$$, e a fração será mantida, com uma nova forma: $$\frac{2+\frac{1}{n²}}{3-\frac{n}{n²}}$$.

O limite do numerador existe: $$lim_{n\to\infty} 2+\frac{1}{n²} = 2 + lim_{n\to\infty} \frac{1}{n²} = 2+0 = 2$$.

O limite do denominador existe:  $$lim_{n\to\infty} 3-\frac{n}{n²} = 3- lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 3-0 = 3$$.

Podemos, portanto, aplicar a regra da divisão de limites e dizer que

\[lim_{n\to\infty}\frac{2n²+1}{3n²-n} = \frac{lim_{n\to\infty} 2+\frac{1}{n²}} {lim_{n\to\infty} 3-\frac{n}{n²}}=2/3.\]

O post Limite de Sequências – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Se dividirmos numerador e denominador por $$n$$, a fração é mantida e é reescrita como $$\frac{1+\frac{1}{n}}{2-\frac{1}{n}}$$.

O limite do numerador existe: $$lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{n} = 1 + lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 1+0 = 1$$.

O limite do denominador existe:  $$lim_{n\to\infty} 2-\frac{1}{n} = 2 – lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} = 2-0 = 2$$.

Podemos, portanto, aplicar a regra da divisão de limites e dizer que

\[lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1} = \frac{lim_{n\to\infty} 1+\frac{1}{n}}{lim_{n\to\infty} 2-\frac{1}{n} }=1/2.\]

O post Limite de Sequências – Exercício 3 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

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\[𝑦′ + 𝑎𝑦 = 𝑏*e^{−𝜆𝑡} \]

tem a propriedade de que 𝑦→0 quando 𝑡→∞.

Solução:

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Solução:

EDO – Fator Integrante – Exercício 4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

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