Limite de Sequências – Exercício 5

Caso exista, calcule o limite da sequência $$\frac{(-1)^{n}}{n}+2$$.

Solução:
Observe que a sequência é $$2-1 ; 2+\frac{1}{2} ; 2 – \frac{1}{3},…$$.
Apesar de sua alternância, a sequência é convergente, pois as subsequências de números pares e ímpares tendem a 0.:

$$2+\frac{1}{2n}\longrightarrow 2$$ e $$2 – \frac{1}{2n-1}\longrightarrow 2$$.

Provaremos que o limite é igual a 2 pela definição:

dado ε>0, podemos escolher $$n_{0}>\frac{1}{\epsilon}$$, de modo que, se $$n>n_{0}$$, teremos

$$|a_{n}-2| = |\frac{(-1)^{n}}{n}+2-2| = $$

$$|\frac{(-1)^{n}}{n}|=\frac{1}{n}<\frac{1}{n_{0}}<\epsilon$$.