Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 1)
Uma função $$f:X\longrightarrow Y$$ é sobrejetora, se, e somente se, para cada $$A\subset X$$, tem-se que $$Y-f(A)\subseteq f(X-A)$$. Demonstração: Assumimos que $$f$$ é sobrejetora, isto...
Matemática – Ensino Superior
Lógica Matemática – Conjuntos – Famílias (exercício 1)
Seja $$(A_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ uma família de conjuntos e $$A = \cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$$. Prove que existe uma família $$(B_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$, com $$B_{n} \subset B_{n+1}$$ e $$A = \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$. Solução:...
Álgebra Linear Computacional – Matriz de Posto 1 (potência matricial)
Definição e propriedade da matriz $$C$$ (clique aqui). Propriedade: Seja $$C=(vw^{T})$$, com $$v_{n\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$. É verdade que $$C^{k}=(w^{T}v)^{k-1}(vw^{T})$$. Demonstração: Provaremos para $$k=2$$,...
Lógica Matemática – Relação de Equivalência (exercício 1)
Seja uma relação $$p$$, que é reflexiva e transitiva no conjunto $$A$$. Para $$a,b\in A$$, definimos $$a\sim b$$ se, e somente se, $$apb\land bpa$$. a)...
Álgebra Linear Computacional – Matriz de Posto 1
Definição Dados os vetores $$v_{m\times 1}$$ e $$w_{n\times 1}$$, define-se a matriz a seguir, a partir do produto exterior: \[C=vw^{T}\]. Propriedades de $$C$$ As colunas...
Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 4
Teoria de Conjuntos (Lista de exercícios e teoria) Prove que $$(A\cup B)-(A\cap B)=(A-B)\cup (B-A)$$. Demonstração: i) Afirmamos que $$(A\cup B) – (A\cap B)\subseteq (A-B)\cup (B-A)$$....
Álgebra Linear Computacional – Produto Matricial
Definição: $$A_{m\times p}$$ e $$B_{p\times n}$$ são duas matrizes. O produto é definido como a matriz $$C=AB$$, cujos elementos são da seguinte forma: \[c_{ij}=\sum^{p}_{k=1}a_{ik}b_{kj}\]. Equivalência...
Lógica Matemática – Conjuntos – Leis de d’ Morgan
Dados os conjuntos $$A$$ e $$B$$, são válidas as seguintes afirmações: i) $$\overline{A\cup B}=\bar{A}\cap\bar{B}$$. ii) $$\overline{A\cap B}=\bar{A}\cup\bar{B}$$. Demonstração: i) Sê $$x\in \overline{A\cup B}$$, então $$x\notin...
Lógica Matemática – Conjuntos – Exercício 3
Prove that for all sets $$A$$, $$B$$ e $$C$$, $$(A\cap B)\cup C = A\cap (B\cup C)$$ iff $$C\subseteq A$$. Prove que, para quaisquer conjuntos $$A$$,...
Álgebra Linear – Matrizes – SVD (exercício 2)
Questão Seja $$A\in\mathbb{M(R)}_{m\times n}$$, e seja a sua decomposição SVD $$A=U\Sigma V^{T}$$, onde $$U=[u_{1}|…|u_{m}]$$, $$V=[v_{1}|…|v_{n}]]$$ e $$\sigma = diag(\sigma_{1},…,\sigma_{r})$$, com $$r=min\{m,n\}$$. Prove as seguintes afirmações:...
Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 4)
Questão Seja A uma matriz quadrada e ε > 0. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes: a) $$\lambda$$ é autovalor de $$A+B$$, para alguma...
Álgebra Linear – Matrizes – Autovalores (exercício 3)
Questão Sejam $$d\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os seus valores distintos,$$ v\in\mathbb{R^{n}}$$ com todos os elementos não nulos e $$a\in\mathbb{R}$$, e defina $$A=\left(\begin{array}{rrr} D&v\\ v^{T}&a \end{array}\right)$$, com...