Seja $$(A_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$ uma família de conjuntos e $$A = \cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$$. Prove que existe uma família $$(B_{n})_{n\in\mathbb{N}}$$, com $$B_{n} \subset B_{n+1}$$ e $$A = \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$.
Solução:
Podemos definir a família com os elementos $$B_{i}=\cup^{i}_{n=1}A_{n}$$. Daqui, concluímos a seguinte igualdade:
\[B_{i}=A_{1}\cup…\cup A_{i}\subseteq A_{1}\cup…\cup A_{i}\cup A_{i+1}=B_{i+1}\].
(i) Provaremos que $$A\subseteq \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$.
Com efeito, dado qualquer $$x\in A$$, existe $$A_{s}$$, com $$s\in\mathbb{R}$$, tal que $$x\in A_{r}$$. A razão pela qual este fato é verdadeiro vem de $$A = \cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$$; deve haver, no mínimo, algum conjunto desta união que contém $$x$$.
Ademais, é fato que $$A_{r}\subseteq \cup^{r}_{n=1}A_{n}=B_{r}$$. Então é certo que $$x\in \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$. Logo, provamos que, se $$x\in A$$, é fato que $$x\in \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$.
(ii) Provaremos que $$A\supseteq \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$.
De fato, dado $$x\in \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$, existe $$s\in\mathbb{N}$$ tal que $$x\in B_{s}\subset \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$.
De $$B_{s}=\cup^{s}_{n=1}A_{n}$$, existe algum $$r\in\{1,2,…,s\}$$ tal que $$x\in A_{r}$$. Além disso, é certo que $$A_{r}\subset\cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}$$. Logo, mostramos que, se $$x\in \cup_{n\in\mathbb{N}}B_{n}$$, é fato que $$x\in \cup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=A$$.
Referência:
Curso de Análise Real – Neri e Cabral
