265431.
265413.
265314.
264531.

Solução:
A quantidade de números iniciados por 1 é dada por $$_\cdot 5! = 120$$.

A quantidade de números iniciados com o algarismo 2 é dada por $$_\cdot 5! = 120$$, então esses números ocupam as posições de número 121 até 240.

Observe que o último número iniciado por 2 é $$265431$$, que é o maior número iniciado pelo algarismo 2. Isso significa que ele ocupa a 240ª posição. Então o número imediatamente anterior a ele é 265413, que está na 239ª posição.

O post Permutação – Exercício 16 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

a) √((1+√3)/2)
b) √((1+√5)/2)
c) √((-1+√√3)/2)
d) √((-1+√√5)/2)

Solução:

Sabemos que a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, então teremos a seguinte progressão geométrica: (x, xq, xq²), em que $$x$$ é a medida do primeiro cateto, $$q$$ é a razão e $$xq^{2}$$ é a medida da hipotenusa.

Por Pitágoras, temos $$x^{2}+x^{2}q^{2}=x^{2}q^{4}$$, donde se tem que

\[x^{2}(q^{4}-q^{2}-1)=0.\]

Basta encontrarmos os valores que anulam a expressão $$q^{4}-q^{2}-1$$. Fazendo a substituição u=q², teremos a equação do segundo grau u²-u-1=0, cujas raízes são $$u=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$. Escolhemos apenas o valor positivo, pois procurarmos por $$q^{2}=u$$, logo

\[q=\pm \sqrt{\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}.\]

Como lidamos com lado de um triângulo, só podemos admitir a resposta positiva.

O post Progressão Geométrica – Exercício 15 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

\[a^{3}=\frac{125}{8}=\frac{5^{3}}{2^{3}},\]

então $$a=5/2$$.
Daqui, 

\[f(4)/f(5)=\frac{8a^{4}}{8a^{5}}=\frac{1}{a}=\]

\[\frac{1}{\frac{5}{2}}=\frac{2}{5}.\]

Resposta: d)

O post UECE – 2021 – Q.4 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) 790.
B) 970.
C) 890.
D) 980.

Solução:

Notamos que a sequência é formada pelos quadrados de números primos: 2² , 3², 5², 7², 11²,… Seguindo a lista de números primos, temos (2,3,5,7,11,13,17,19, 23,…). Logo, estamos procurando o valor $$19^{2}+23^{2}= 890$$.

O post UECE – 2021 – Q.6 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Solução:

Dado que $$x-1$$ divide o polinômio P(x), uma raiz de P(x) é x=1, ou seja:

\[0=P(1)=1^{5}+1^{4}+1^{3}+1^{2}+1+k.\]

Daqui, $$k=-5$$.

Sabendo que $$(-2)^{n} = 2^{n}$$, se k for par, e que $$(-2)^{n}=-2^{n}$$, se k for ímpar, podemos observar que

\[P(2)+P(-2)= 2^{5}+(-2)^{5}+2^{4}+(-2)^{4}+…+2+-2-5-5=\]

\[2\cdot (2^{4}+2^{2}-5)=30.\]

Resposta: b)

O post UECE – 2021 – Q.2 apareceu primeiro em Educacional Plenus.

A) 8.
B) 16.
C) 12.
D) 20.

Solução:

Observa-se que X, Y e Z são subconjuntos de K; os elementos de K são 2,4,…,98; os elementos de Y são 3,6,9…,99; os elementos de Z são 5, 10, 15…, 95. O conjunto X ∩ Y ∩ Z é dado pelos números de K que são divisíveis por 2,3 e 3, simultaneamente.  Se calcularmos o M.M.C entre os três, obtemos $$mmc(2,3,5) = 30$$. Os números desta intersecção são, portanto, 30, 60 e 90.

O número de subconjuntos de um conjunto é dado por $$2^{n}$$, em que $$n$$ é o número de elementos do conjunto; neste caso, como n=3, temos $$2^{3}=8$$.

Resposta: a)

O post UECE – 2021 – Q.1 apareceu primeiro em Educacional Plenus.