(UECE–2016) Se a medida dos comprimentos dos lados de um triângulo retângulo forma uma progressão geométrica crescente, então, a razão dessa progressão é igual a:
a) √((1+√3)/2)
b) √((1+√5)/2)
c) √((-1+√√3)/2)
d) √((-1+√√5)/2)
Solução:
Sabemos que a hipotenusa é o maior lado de um triângulo retângulo, então teremos a seguinte progressão geométrica: (x, xq, xq²), em que $$x$$ é a medida do primeiro cateto, $$q$$ é a razão e $$xq^{2}$$ é a medida da hipotenusa.
Por Pitágoras, temos $$x^{2}+x^{2}q^{2}=x^{2}q^{4}$$, donde se tem que
\[x^{2}(q^{4}-q^{2}-1)=0.\]
Basta encontrarmos os valores que anulam a expressão $$q^{4}-q^{2}-1$$. Fazendo a substituição u=q², teremos a equação do segundo grau u²-u-1=0, cujas raízes são $$u=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$$. Escolhemos apenas o valor positivo, pois procurarmos por $$q^{2}=u$$, logo
\[q=\pm \sqrt{\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}}.\]
Como lidamos com lado de um triângulo, só podemos admitir a resposta positiva.
