a) Determine 𝑐 no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o
respectivo gráfico para 0 ≤ 𝑥 ≤ 4.

b) Considere os pontos de coordenadas 𝐴 = (𝑎, 𝑓(𝑎)) e 𝐵 = (𝑏, 𝑓(𝑏)), onde 𝑎 e 𝑏 são números reais com
𝑎 < 𝑏. Sabendo que o ponto médio do segmento  AB é 𝑀 = (1, 𝑐), determine 𝑎 e 𝑏.

a) C = 2
b) a = 1 – √3 e b = 1 + √3
Solução (no vídeo abaixo):

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a) Calcule os valores numéricos das constantes a e b, sabendo que um objeto a 1 metro de distância da lâmpada recebe 60 luxes e que um objeto a 2 metros de distância recebe 30 luxes.

b) Considerando que um objeto recebe 15 luxes, calcule a distância entre a lâmpada e esse objeto.

Solução:
a) Temos L(1) = 60 e $$L(2)=30$$. O primeiro fornece $$60 = a\cdot e^{b}$$; o segundo, $$30 =a\cdot e^{2b}$$. Se dividirmos uma expressão pela outra, obtemos

\[2=\frac{60}{30}=\frac{a\cdot e^{b}}{a\cdot e^{2b}}=e^{-b}.\]

Transformando em logaritmo, teremos $$b=-Ln 2= Ln(1/2)$$.

Substituindo esse valor na primeira equação, temos

\[a\cdot e^{Ln(1/2)}=60\longrightarrow a/2=60\longrightarrow a = 120.\]

b) Basta fazermos $$15=L(x)=120\cdot e^{Ln(1/2)\cdot x}$$, então $$(1/8)=(15/120) = e^{Ln(1/2)\cdot x}$$. Daqui, obtemos $$Ln(1/2)\cdot x = Ln(1/8) = Ln ((1/2)^{3}) = 3 Ln(1/2)$$, donde tiramos que $$x = 3$$.

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a) Qual é o maior valor possível para o número natural r?
b) Se o primeiro quociente for igual a 4 e o segundo quociente for igual a 7, calcule o valor numérico de D.

Solução:
O algoritmo da divisão fornece duas equações:

• $$D = 31a+r$$, e
• $$D=17b + 2r$$.

a) Como o resto sempre deve ser menor que o divisor, teremos $$2r<17$$. O maior número natural que satisfaz a desigualdade é 8, pois $$2\cdot 8 = 16<17$$. O próximo seria $$r=9$$, mas $$18>17$$.

b) Assumindo $$a=4$$ e $$b=7$$, teremos $$31\cdot 4 + r = 17\cdot 7 + 2r$$, então $$r = 5$$. Substituindo na primeira equação, obtemos $$D=31\cdot 4 + 5 = 129$$.

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a) Quantos desses números são pares?

b) Escolhendo-se ao acaso um dos números do item (a), qual a probabilidade de que este número tenha  exatamente dois dígitos ímpares juntos?

Solução:
a) Se fixarmos o número dois como último algarismo, teremos 8 algarismos para escolher dentre os números {1,3,4,5,6,7,8,9}. O total dessas sequências são as permutações possíveis, isto é: 8!. Observe que isso se repete também com os números 4,6 e 8, logo o total de números pares formados por esses algarismos é $$4\cdot 8!$$.

b) Vamos impor que os dois primeiros números sejam ímpares e o último tenha dígito igual a 8. Observe que, após os dois números ímpares, só teremos a intercalação PAR e ÍMPAR, até atingirmos o último dígito, o 8. Exemplo: 132547698. Além disso, observamos que o preenchimento dos algarismos terá os seguintes números disponíveis: Pares = {2,4,6} e Ímpares = {1,3,5,7,9}.  O total de sequências numéricas que satisfazem as condições impostas é dado por $$5\cdot 4\cdot 3\cdot 3\cdot 2\cdot 2\cdot 1\cdot 1$$.

Se impusermos ímpares para o segundo e o terceiro dígitos, o número de possibilidades é exatamente o mesmo, e assim por diante. Para contabilizarmos as 4 colocações de ímpares lado a lado e os 4 números pares, tomemos o número anterior e multipliquemos por $$16$$, logo o total será de $$ 16\cdot 5!\cdot 3!$$.

A probabilidade será de $$\frac{16\cdot 5!\cdot 3!}{4\cdot 8!} =\frac{1}{14}$$.

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a) Para k = −1, determine o(s) valor(es) de b para os quais o gráfico de y = f (x) é simétrico com respeito ao eixo y. Para este(s) valor(es) de b, resolva f (x) = 0.

b) Agora, para k = 1 e b = −3 , determine a distância entre o vértice da parábola y = f (x) e a origem (0,0).

Solução:

O post UNICAMP 2023 – Considere a função y = f ( x ) = kx² +bx+4. apareceu primeiro em Educacional Plenus.

Ela repete este processo, lançando novamente ambos os dados, e desenha assim uma segunda reta s dada por y = a₂x + b₂x , com a₂ sendo o resultado obtido no segundo lançamento do dado amarelo e b₂ o resultado obtido no segundo lançamento do dado branco.

a) Qual a probabilidade de as retas r e s terem apenas um ponto em comum?
b) Numa rodada do jogo, os resultados dos dados foram a₁=2 , b₁=3, a₂=5 e b₂=6. Determine o ponto de interseção das retas encontradas.

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• Confira nossa Lista de Exercícios Resolvidos sobre Equações Trigonométricas

a) Calcule f(π/4)
b) Encontre todos os valores de x ∈[0,2π ] tais que f ( x ) = −1/ 2.

Solução:

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a) Para p = q =1, resolva o sistema.
b) Determine os valores de p, q para que o sistema tenha infinitas soluções.

Solução:

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a) A insolação diária σ é a energia solar incidente por unidade de área durante 1 dia. Na área $$A = 6,0\times 10^{6}\, m^{2}$$ do terreno ocupado pelos helióstatos, $$\sigma = 8,0\, kWh/m^{2}$$. Uma fração de 5% dessa energia solar incidente no terreno é convertida em energia elétrica pela usina, energia esta fornecida para o consumo durante as 24 h do dia a uma potência constante. Qual é a potência fornecida pela usina?

b) Quanto tempo leva para que uma massa m = 25000 toneladas de sal seja fundida se a potência luminosa usada para a fusão for $$P_{lumin} = 400\, MW$$? O calor latente de fusão do sal é $$L_{sal} = 160\, kJ/kg$$. Desde o início até o final do processo, a temperatura do sal permanece constante e igual à temperatura de fusão.

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Solução:

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a) A bomba é desligada quando a pressão manométrica no pressostato atinge o valor $$p_{m} = 3,2\times 10^{5}\, Pa$$. Lembrando que a pressão manométrica é dada por $$p_{m} = p – p_{0}$$ sendo p a pressão absoluta e $$p_{0}$$ a pressão atmosférica, e sabendo que a densidade do óleo em questão é $$rho_{\acute{o} leo} = 8,0\times 10^{2}\, kg/m^{3}$$, qual é o valor de h para que o pressostato desligue a bomba?

b) Um elevador hidráulico faz uso da força exercida por um fluido, normalmente um óleo ou o ar. Num elevador residencial a vácuo, a força aplicada sobre a cabine verticalmente para cima é proveniente da diferença de pressão do ar na base e no teto da referida cabine. A parte inferior da base fica em contato com a atmosfera ambiente, portanto, na pressão atmosférica $$p_{0} = 100\, kPa$$. Já na parte superior do teto, que é fechada hermeticamente, retira-se ar com uma bomba de vácuo, reduzindo-se a pressão. Qual deve ser a pressão $$p_{sup}$$ na parte superior de uma cabine cilíndrica de massa m = 300 kg para que ela suba em movimento retilíneo uniforme? As áreas da base e do teto são idênticas e dadas por $$A_{base} = A_{teto} = 1,5\, m^{2}$$. Despreze qualquer força de atrito.

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Solução:

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