Demonstração de n⋅v = v+….+v (n- vezes)

Demonstração desta propriedade de espaços vetoriais:

$$n\cdot v=\sum _1^{n}v.$$

Usamos a Indução Finita para demonstrar esta igualdade e os axiomas das operações com vetores e escalares.

Definimos $$2\cdot v=v+v=\sum _1^{2}v$$. Assim, já está provado, pela própria definição da operação, o argumento para $$n=2$$. Além disso, usaremos a notação $$\sum _1^{n}v=v+v\dots +v$$ (n parcelas).

Agora, assumimos a hipótese da indução, $$nv=\sum _1^{n}v$$ e provaremos para $$n+1$$. De fato, $$(n+1)v=nv+v$$, das propriedades operacionais dos espaços vetoriais. Assim, é válida a próxima igualdade, por hipótese de indução e também é válido que $$\sum _1^{n+1}v=v+\sum _1^n$$. Logo pode-se escrever

$$(n+1)v=nv+v=(\sum _1^{n}v)+v=\sum _1^{n+1}v$$.

O que demonstra o exercício.