Quais são as soluções da equação x²(x²-9)=-20 ?
Solução:
Parte I
Aplicando a distributividade no lado esquerdo da equação, obteremos $$x^{4}-9x^{2}$$, então teremos a equação biquadrada $$x^{4}-9x^{2}+20=0$$. Agora, fazemos a substituição t = x², e nossa equação original é reescrita com a variável t. Observe que $$x^{4}=(x^{2})^{2}=t^{2}$$. Daqui, nossa equação passa a ser
\[t^{2}-9t + 20 = 0.\]
Parte II
Obtemos a solução da equação do 2º grau associada, por meio da fórmula de Bhaskara.
$$t=\frac{9\pm\sqrt{9^{2}-4\cdot (20)}}{2}=\frac{9\pm 1}{2}$$. As duas soluções são $$t = (9+1)/2 = 5$$ e $$t = (9-1)/2 = 4$$.
Parte III
Retornamos à variável x. Observe que há duas possibilidades: ou$$5=t=x^{2}$$, ou $$4 = t = x^{2}$$. A primeira expressão, $$x^{2}=5$$, gera as soluções x = √5 ou x =-√5; a segunda, $$x^{2}=4$$, gera as soluções x=2 ou x=-2.
As soluções da equação biquadrada são, portanto, {±2,±√5}.
