Matemática Básica
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Equação do 2º Grau – Questão 2

Um fio de 48 cm de comprimento é cortado em duas partes, para formar dois quadrados, de modo que a área de um deles seja quatro vezes a área do outro.

a) Qual deve ser o comprimento de cada uma das partes do fio?
b) Qual será a área de cada um dos quadrados formados?



Solução:

Os comprimentos dos fios serão denotados por $$4x$$ e $$4y$$, respectivamente, uma vez que cada uma das partes cortadas será dividida em outras 4 partes menores, para formarmos os quadrados. Como os fios formarão quadrados, suas áreas serão $$x^{2}$$ e $$y^{2}$$, respectivamente. Além disso, sabemos que a área de um é quatro vezes a área do outro, isto é: $$y^{2}=4x^{2}$$

a) Temos um sistema com as equações

  • $$4x+4y=48$$ (simplificando: $$x+y=12$$)
  • $$y^{2}=4x^{2}$$.

Se extrairmos a raiz quadrada da segunda equação, obtemos duas possibilidades: $$y=2x$$ ou $$y=-2x$$ Substituindo a primeira opção na primeira equação, obtemos

\[x+2x=12\Longrightarrow 3x = 12 \Longrightarrow x = 12/3 = 4.\]

Então $$y=2\cdot 4 = 8$$.

Substituindo a segunda opção, obtemos

\[x-2x = 12 \Longrightarrow -x=12.\]

Esta solução não será usada, pois o comprimento do fio não pode ser medida negativa. Desse modo, concluímos que $$x=4$$ e $$y=8$$.

b) As áreas serão $$x^{2}=4^{2}=16$$ e $$y^{2}=8^{2}=64$$.

 

Tags: Equação do 2º Grau, Sistemas de Equações

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