Calcule a soma das raízes da equação $$3^{x-1}+3^{4-x}=36$$.
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Solução:
Note que $$3^{x-1}=3^{x}/3$$, $$3^{4-x}=3^{4}/3^{x}$$ e $$36 = 4\cdot 3^{2}$$. Fazendo a substituição $$t=3^{x}$$, a equação passa a ser
\[t/3 + 3^{4}/t=4\cdot 3^{2}.\]
Se dividirmos toda a equação por $$3^{2}$$ e multiplicarmo-la por $$t$$, obtemos
\[t/27 + 9/t=4 \Longrightarrow t^{2}/27 + 9 – 4t^{2}=0.\]
Essa equação do segundo grau tem os parâmetros $$a=1/27$$, $$b=-4$$ e $$c=9$$. O produto das raízes ($$t$$) é dado por$$c/a$$ (Relação de Girard). Assim, o produto dessa equação é
\[\frac{9}{1/27}=9\cdot 27 = 243\].
Então, as raízes são $$3^{x_{1}}=t_{1}$$ e $$3^{x_{2}}=t_{2}$$, e seu produto é
\[3^{x_{1}+x_{2}}=3^{x_{1}}\cdot 3^{x_{2}}=t_{1}\cdot t_{2}=243=3^{5}.\]
Daqui, $$x_{1}+x_{2}=5$$.
