As pessoas A, B, C e D possuem juntas R$ 2.718,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade do que tem, C tivesse R$ 10,00 a mais do que tem e, finalmente, D tivesse R$10,00 a menos do que tem então todos teriam a mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro pessoas?
Confira nossa lista de exercícios sobre sistemas de equações!
Solução:
Digamos que
$$x_{A}$$ -> quantia da pessoa A
$$x_{B}$$ -> quantia da pessoa B
$$x_{C}$$ -> quantia da pessoa C
$$x_{D}$$ -> quantia da pessoa D
O exercício diz que todos teriam a mesma quantia caso o que foi descrito acontecesse. Então chamaremos essa quantia de $$y$$
A pessoa A teria o valor $$y$$ caso possuísse o dobro do que tem, então
$$2x_{A} = y \longrightarrow x_{A} = \frac{y}{2}$$
A pessoa B teria o valor $$y$$ se tivesse metade do que tem, então
$$\frac{x_{B}}{2} = y \longrightarrow x_{B} = 2y$$
A pessoa C teria o valor $$y$$ se tivesse R$ 10,00 a mais do que tem, então
$$x_{C} + 10 = y \longrightarrow x_{C} = y – 10$$
A pessoa D teria o valor $$y$$ se tivesse R$ 10,00 a menos do que tem, então
$$x_{D} – 10 = y \longrightarrow x_{D} = y + 10$$
Sabemos também que $$x_{A} + x_{B} + x_{C} + x_{D} = 2718$$, então basta substituir os valores $$x_{A}$$, $$x_{B}$$, $$x_{C}$$ e $$x_{D}$$ encontrados acima em função de $$y$$.
$$\frac{y}{2} + 2y + y – 10 + y + 10 = 2718 \longrightarrow \frac{y}{2} + 4y = 2718 \longrightarrow \frac{y}{2} + \frac{8y}{2} = 2718 \longrightarrow \frac{9y}{2} = 2718 \longrightarrow$$
$$y = \frac{2718\times 2}{9} \longrightarrow y = 604$$
Agora basta voltar em cada uma das 4 equações das pessoas e substituir o valor de $$y$$.
$$x_{A} = \frac{604}{2} \longrightarrow x_{A} = 302$$
$$x_{B} = 2\times 604 \longrightarrow x_{B} = 1208$$
$$x_{C} = 604 – 10 \longrightarrow x_{C} = 594$$
$$x_{D} = 604 + 10 \longrightarrow x_{D} = 614$$
Portanto, a pessoa A tem R$ 302,00, a pessoa B tem R$ 1.208,00, a pessoa C tem R$ 594,00 e a pessoa D tem R$ 614,00.
