Matemática Básica
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Equações e Sistemas – Exercício 9

(UERJ) A soma de dois números é 6, e a soma de seus quadrados e 68. O módulo da diferença desses dois números é

Confira nossa lista de exercícios sobre sistemas de equações!

Solução:

Denotamos os números por $$x$$ e $$y$$, assim, temos o seguinte sistema de equações:

  • $$x+y=6$$
  • $$x^{2}+y^{2}=68$$.

Da primeira equação, temos $$x=6-y$$. Substituindo essa igualdade na segunda equação, obtemos $$(6-y)^{2}+y^{2}-68=0$$. Desenvolvendo o trinômio e juntando termos análogos, obtemos a equação do segundo grau $$2y^{2}-12y-32=0$$. Por Bhaskara, temos os seguintes valores para $$y$$:

\[y_{1}=\frac{12+\sqrt{12^{2}-4\cdot 2\cdot (-32)}}{2\cdot 2}=\frac{12+\sqrt{400}}{4}=\frac{12+20}{4}=8.\]

\[y_{2}=\frac{12-\sqrt{12^{2}-4\cdot 2\cdot (-32)}}{2\cdot 2}=\frac{12-20}{4}=-2.\]

Daqui, $$x_{1}=6-y_{1}=6-8 = -2$$ e $$x_{2}=6-y_{2}=6-(-2)=8$$, de modo que os pares de solução do sistema são (-2,8) e (8,-2). Assim, $$|x-y|=|x_{1}-y_{1}|=|x_{2}-y_{2}| = |-2-8|=10$$.

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