Seja N um número natural de dois algarismos não nulos

Seja N um número natural de dois algarismos não nulos. Trocando-se a posição desses dois algarismos, obtém-se um novo número natural M de modo que N – M = 63. A soma de todos os números naturais N que satisfazem as condições dadas é

a) 156
b) 164
c) 173
d) 187
e) 198

Solução:

Representamos o número do seguinte modo: $$N=a+10b$$, onde $$a,b\in\{1,..,9\}$$. Sendo assim, $$M=b+10a$$.

\[N-M=a+10b-(b+10a)=9b – 9a = 9(b-a)=63\Longrightarrow b-a=7\].

Procuramos apenas soluções inteiras no conjunto {1,…,9} para a equação. Notamos que há apenas duas opções:

$$b=9$$ e $$a=2$$;
$$b=8$$ e $$a=1$$.

As soluções são $$N=9\cdot 10 + 2 = 92$$ e $$N=8\cdot 10 + 1 = 81$$. Somando os dois números, obtemos 173.
Resposta: c)