Na expressão $$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{29}{30}$$, as letras a,b,c e d representam números inteiros de 1 a 9. Qual é o valor de a+b+c+d ?
Solução:
Para somarmos as duas frações precisamos multiplicá-las por algum múltiplo comum de seus respectivos denominadores. Como não conhecemos os valores, o múltiplo comum será o fator $$bd$$. Assim,
\[\frac{a}{b}\cdot\frac{d}{d}=\frac{ad}{bd}\text{ e}\]
\[\frac{c}{d}\cdot\frac{b}{b}=\frac{bc}{bd}.\]
Somando as duas frações, teremos a expressão
\[\frac{ad+bc}{bd}=\frac{29}{30}.\]
Temos uma fração irredutível. Observe que $$bd = 30$$, mas, como $$b,d\in\{1,…,9\}$$, teremos apenas duas opções: $$b=5$$ e $$c=6$$, ou $$b=6$$ e $$c=5$$.
No primeiro caso, teremos $$6a+5b = 29$$. Se colocarmos $$a=4$$ e $$b=1$$, teremos $$6\cdot 4 + 5\cdot 1 = 29$$, que é uma solução da equação diofantina. Se quisermos $$b=6$$ e $$c=5$$, teremos a mesma solução, apenas trocando $$a$$ e $$c$$.
Desse modo, a soma $$a+b+c+d = 4 + 5 + 1 + 6 = 16$$.
