Os números a e b são inteiros positivos tais que $$\frac{a}{11}+\frac{b}{3}=\frac{31}{33}$$. Qual é o valor de $$a+b$$?
Solução:
Multiplicamos a primeira fração por $$3$$, de modo que $$\frac{a}{3}=\frac{3\cdot a}{3\cdot 11}=\frac{3a}{33}$$. Multiplicamos a segunda fração por $$11$$, então obtemos $$\frac{b}{11}=\frac{11b}{11\cdot 3}=\frac{11b}{33}$$.
Somando as duas frações, obtemos
\[\frac{3a+11b}{33}=\frac{31}{33}.\]
Como a fração à direita é irredutível, teremos $$3a+11b=31$$. Essa equação diofantina tem solução, pois $$mdc(3,11)=1$$. Observe que só podemos ter $$b=1$$ ou $$b=2$$. Escolhendo $$b=2$$, teremos $$a=3$$, donde concluímos que $$3\cdot 3 + 11\cdot 2 = 9 + 22 = 31$$.
Daqui, $$a+b=5$$.
