Função do 2º Grau – Exercício 2

(FGV) A função f, de R em R, dada por f(x)= ax² – 4x + a tem um valor máximo e admite duas raízes reais e iguais. Nessas condições, f(–2) é igual a:

a) 4
b) 2
c) 0
d) -12
e) –2

Solução:
Usando as relações de Soma e Produto (Girad) e o fato de as duas raízes serem iguais, teremos

• Soma: $$x+x = -\frac{-4}{a}$$, e
• Produto: $$x\cdot x = \frac{a}{a} = 1$$.

Da segunda equação, temos x² = 1, logo os possíveis valores são x =1 ou x=-1.
Se $$x=1$$, a primeira equação fornece $$4/a = 2$$, logo $$a = 2$$.

Se as raízes forem iguais a (-1), a primeira equação fornece $$4/a = -2$$, então $$a= -2$$.
Dado que a função possui ponto de máximo, sabemos que o coeficiente que multiplica o x² deve ser negativo, portanto $$a=-2$$ e $$f(x) = -2x² -4x – 2$$.

Agora, basta fazermos $$f(-2) = (-2)(-2)² – 4(-2) – 2 = -2$$.