Para manter o seu estoque, o dono de uma loja entrou em contato com seu fornecedor para adquirir
três tipos de produtos diferentes entre si. O fornecedor informou que os valores de cada unidade desses
produtos eram: R$50,00, R$70,00 e R$100,00. Para compor seu pedido, o dono da loja decidiu adquirir
pelo menos uma unidade de cada produto. Se o dono da loja pretende gastar exatamente R$750,00 com esse pedido, a menor e a maior quantidade de produtos, respectivamente, que ele pode adquirir do fornecedor é:
( A ) 8 e 12.
( B ) 10 e 12.
( C ) 8 e 15.
( D ) 10 e 15.
Solução:
Sejam $$x,y$$ e $$z$$ as quantidades de unidades dos três produtos apresentados, respectivamente. A equação do preço será $$50x+70y+100z = 750$$, ou podemos trabalhar com sua forma reduzida: 5x+7y+10z=75.
Observe que $$7y$$ deverá ser um múltiplo de 5 ou de 10, a fim de que a equação tenha solução inteira positiva. Com efeito, os dois únicos valores possíveis são $$7y=35$$ e $$7y=70$$, com y=5 e y=10, respectivamente.
Se $$y=10$$, a única solução possível será a tripla (x,y,z) = (1,10,0), que não cumpre a condição inicial, uma vez que há pelo menos uma unidade de cada produto. Então a única solução possível é y = 5 e a equação se torna 5x+10y =75 – 35 = 40.
Agora, procuramos as soluções de $$5x+10y=40$$, que pode ser escrita como $$x+2y = 8$$.
A solução com maior quantidade de itens, isto é, com o maior valor para a soma x+y+z, será $$x=6$$ e $$y=2$$. Isso implica $$ x+y+z = 6 + 5 + 1 = 12$$.
A solução com a menor quantidade será $$x=2$$ e $$y=3$$, de modo que o total será de $$x+y+z = 2+5+3 = 10$$.
MDC (50,70,100) =
Como deve haver ao menos uma unidade de cada produto, começamos nossa análise com o maior valor possível para z:
- Se z=7, a única solução é x=1 e y=0.
- Se z=6, a única solução é x=3 e y=0.
- Se z=5,
