Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2%

Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2% ao mês, para ser liquidado no prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguais de $100.000,00. Esse empréstimo, entretanto, pode ser quitado com um único pagamento no valor de $197.755,02. Calcule no final de que mês deve ser feito esse
pagamento para que a taxa de 1,2% ao mês seja mantida.

Solução:

Primeiramente, devemos descobrir qual é a dívida contraída pela empresa, baseando-nos no regime inicial de pagamento. Um valor $$x$$ é emprestado pela empresa; após 6 meses, o valor é aumentado pelos Juros Compostos e são descontados R$ 100.000,00 do montante da dívida, gerando um novo montante. Depois de mais seis meses, o novo montante é atualizado pelos Juros Compostos e, novamente, há um desconto de R$ 100.000,00, que salda a dívida, ficando a equação igual a zero. Este problema é muito semelhante a outra questão que resolvemos em nosso site.

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Matematicamente,

$$(x(1,012{)}^6-100000)(1,012{)}^6-100000=0⟹$$

$$1,{012}^{12}x=100000\cdot 1,{012}^6+100000⟹$$

$$x=\frac{100000}{1,{012}^6}+\frac{100000}{1,{012}^{12}}=R\mathrm{\$}179.756,00.$$

A fim de que o empréstimo de R$ 179.756,00 seja quitado em um único pagamento de R$197.755,02, após $$n$$ meses, à taxa de 1,2% a.m, temos a equação dos Juros Compostos deste modo:

$$197.755,02=179.756,00\cdot (1+0,012{)}^n⟹$$

$$1,{012}^n=1,10013026⟹$$

$$n=lo{g}_{1,012}1,10013026=8,000002032.$$

O número de meses é inteiro, então, para que a dívida não ultrapasse os R$ 197.755,02, ela deve ser saldada no 8º mês.