Uma empresa contraiu um empréstimo a juros compostos de 1,2% ao mês, para ser liquidado no prazo de um ano, com dois pagamentos semestrais iguais de $100.000,00. Esse empréstimo, entretanto, pode ser quitado com um único pagamento no valor de $197.755,02. Calcule no final de que mês deve ser feito esse
pagamento para que a taxa de 1,2% ao mês seja mantida.
Solução:
Primeiramente, devemos descobrir qual é a dívida contraída pela empresa, baseando-nos no regime inicial de pagamento. Um valor $$x$$ é emprestado pela empresa; após 6 meses, o valor é aumentado pelos Juros Compostos e são descontados R$ 100.000,00 do montante da dívida, gerando um novo montante. Depois de mais seis meses, o novo montante é atualizado pelos Juros Compostos e, novamente, há um desconto de R$ 100.000,00, que salda a dívida, ficando a equação igual a zero. Este problema é muito semelhante a outra questão que resolvemos em nosso site.
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Matematicamente,
\[(x(1,012)^{6}-100000)(1,012)^{6}-100000=0\Longrightarrow\]
\[1,012^{12}x=100000\cdot 1,012^{6}+100000\Longrightarrow\]
\[x = \frac{100000}{1,012^{6}}+\frac{100000}{1,012^{12}}= R\$ 179.756,00.\]
A fim de que o empréstimo de R$ 179.756,00 seja quitado em um único pagamento de R$197.755,02, após $$n$$ meses, à taxa de 1,2% a.m, temos a equação dos Juros Compostos deste modo:
\[197.755,02=179.756,00\cdot (1+0,012)^{n}\Longrightarrow\]
\[ 1,012^{n}=1,10013026 \Longrightarrow\]
\[n = log_{1,012}1,10013026 = 8,000002032.\]
O número de meses é inteiro, então, para que a dívida não ultrapasse os R$ 197.755,02, ela deve ser saldada no 8º mês.
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