Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 7)

Seja uma função $$\sigma:S\longrightarrow U$$, em que $$S$$ e $$U$$ são conjuntos quaisquer.

Define-se $$\sigma_{A}(x)=\sigma(x)$$, para todo $$A\subset S$$, como a restrição da função sobre o conjunto $$A$$.

a) Prove que $$\sigma_{A}: A\longrightarrow U$$ corresponde a uma função.

b) Se $$\sigma$$ for uma função injetora, $$\sigma_{A}$$ é uma função injetora.

Demonstração:

a)

i) Seja $$x\in A$$, existe $$\sigma(x)\in U$$, porque $$\sigma$$ está bem definida para todo $$x\in S$$. Daqui, basta por $$\sigma_{A}(x)=\sigma(x)$$.

ii) Sejam $$a$$ e $$b\in A$$, com $$a=b$$. É fato, portanto, que $$\sigma(a)=\sigma(b)$$. Daqui, $$\sigma_{A}(a)=\sigma(a)=\sigma(b)=\sigma_{A}(b)$$.

b) Sejam $$a$$ e $$b\in A$$ tais que $$\sigma_{A}(a)=\sigma_{A}(b)$$. Consequentemente, $$\sigma_{a}=\sigma_{A}(a)=\sigma_{A}(b)=\sigma_{b}$$. Da hipótese de que $$\sigma$$ é injetora, é fato que $$a=b$$.

Obs: Nalguns casos, $$\sigma_{A}$$ é injetora, ainda que $$\sigma$$ não o seja.