Lógica Matemática – Conjuntos e Funções (exercício 7)

Seja uma função $$\sigma :S⟶U$$, em que $$S$$ e $$U$$ são conjuntos quaisquer.

Define-se $${\sigma }_A(x)=\sigma (x)$$, para todo $$A\subset S$$, como a restrição da função sobre o conjunto $$A$$.

a) Prove que $${\sigma }_A:A⟶U$$ corresponde a uma função.

b) Se $$\sigma$$ for uma função injetora, $${\sigma }_A$$ é uma função injetora.

Demonstração:

a)

i) Seja $$x\in A$$, existe $$\sigma (x)\in U$$, porque $$\sigma$$ está bem definida para todo $$x\in S$$. Daqui, basta por $${\sigma }_A(x)=\sigma (x)$$.

ii) Sejam $$a$$ e $$b\in A$$, com $$a=b$$. É fato, portanto, que $$\sigma (a)=\sigma (b)$$. Daqui, $${\sigma }_A(a)=\sigma (a)=\sigma (b)={\sigma }_A(b)$$.

b) Sejam $$a$$ e $$b\in A$$ tais que $${\sigma }_A(a)={\sigma }_A(b)$$. Consequentemente, $${\sigma }_a={\sigma }_A(a)={\sigma }_A(b)={\sigma }_b$$. Da hipótese de que $$\sigma$$ é injetora, é fato que $$a=b$$.

Obs: Nalguns casos, $${\sigma }_A$$ é injetora, ainda que $$\sigma$$ não o seja.